初升高数学全体系衔接专题01数与式的运算（教师版）

专题01数与式的运算专题综述课程要求初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别与的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.课程要求《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂 知识精讲高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方公式；（5）两数差立方公式．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化 ．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典例剖析高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|+2|=3的解为　；（2）解不等式：|－2|＜6；（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；（4）解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.【答案】（1）或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥或x≤－5；（4）或.【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得或x=－5．（2）在数轴上找出|－2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8，∴方程|－2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集为－4＜x＜8．（3）在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值．∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边．若对应的点在3的右边，可得x=4；若对应的点在－4的左边，可得x=－5，∴方程|－3|+|+4|=9的解是x=或x=－5，∴不等式|－3|+|+4|≥9的解集为x≥或x≤－5．（4）在数轴上找出|-2|+|+2|+|-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若对应的点在5的右边，可得；若对应的点在－2的左边，可得，∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或.【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简a2+|a-b|-|b-a|.【答案】a-2b【解析】解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，所以b-a>0，a-b＜0原式=|a|-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组x+y=5+a4x-y=10-6a的解x、y的值的符号相同.(1)求a的取值范围；(2)化简：2a+2-2a-3.【答案】(1)−1<a<3；(2)4a-4.【解析】 (1)x+y=5+a①4x-y=10-6a②，①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，代入①得：y=2+2a，根据题意得：xy=(3−a)(2+2a)>0，解得−1<a<3；(2)∵−1<a<3，∴当−1<a<3时，2a+2-2a-3=2a+2-23-a=2a+2-6+2a=4a-4.高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】（1）计算：（2）化简：【答案】（1）3（2）4ab-8b2【解析】解：（1）原式=4+1+（-8）÷4=5-2=3（2）原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)=a2-4b2-a2+4ab-4b2=4ab-8b2【变式训练】计算：（1） （2）【答案】（1）8（2）－6x+13【解析】(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x2-6x+9-(x2-4)=x2-6x+9-x2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）【答案】(1)ab;(2);(3).【解析】解：（1）50x＝10x×5x＝ab；（2）2x＝；（3）20x＝．高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．（1）;（2） 【答案】(1);(2)【解析】（1）（）×﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；（2）+2﹣﹣4＝2+2﹣﹣4＝﹣2．【变式训练】小颖计算时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：解：原式＝＝＝．她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【答案】不正确，见解析【解析】解：不正确，正确解答过程为：原式＝÷＝ ═.【能力提升】先化简，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-．【答案】；．【解析】解：(-)÷====，当a=+，b=-时，原式===．高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值，其中x满足x2+x﹣1＝0．【答案】,1.【解析】 解：原式＝∴原式＝1.【变式训练】化简：÷（4x－y）【答案】【解析】÷（4x－y）==.【能力提升】已知：，则的值等于多少？【答案】.【解析】解：∵，∴a-b=-2ab，则对点精练1．下列运算正确的是（　　） A．＝B．C．3x3﹣5x3＝﹣2D．8x3÷4x＝2x3【答案】A解：A，，正确．B，，不正确．C，3x3﹣5x3＝﹣2x3，不正确．D，8x3÷4x＝2x2，不正确．故选：A．2．下列计算结果正确的是（　　　）A．B．C．÷=D．【答案】A∵，∴选项A计算正确；∵，∴选项B计算错误；∵÷=，∴选项C计算错误；∵不是同类项，无法计算，∴选项D计算错误；故选A3．若式子有意义，则下列说法正确的是（）A．且B．C．D．【答案】C 解：由题意可知：∴故选：C4．计算的结果是（）A．3B．0C．D．【答案】A解：===3．故选A．5．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（）A．B．C．或D．2或6【答案】C解：∵，，∴，，∵的绝对值与相反数相等，∴＜0，∴，，或，故选：C．6．设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是（　　）A．B．C．D． 【答案】C解：∵，∴a，c异号，∵，∴，，又∵，∴，又∵表示到，，三点的距离的和，当在时距离最小，即最小，最小值是与之间的距离，即．故选：C．7．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（）．A．，，0，2，4B．，，2，4C．0D．，0，4【答案】D①a、b、c均是正数，原式==；②a、b、c均是负数，原式==；③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式==；④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式==；故选D．8．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A．B．C．D．【答案】C由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：故选：C．9．与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B解：原式=，∵49<54<64，∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故选：B．10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B ∴a的小数部分为，∴b的小数部分为，∴，故选：B．11．若，则分式______﹒【答案】解：两边都乘，得：①②将①代入②得： 故答案为：﹒12．若分式的值为零，则的值为_______．【答案】解：∵分式的值为零，∴且，解方程得，，；解不等式得，，∴故答案为：．13．已知整数a满足，则分式的值为________．【答案】==，由题意且，所以且且，又∵整数a满足，∴，当时，原式=，故答案为：．14．计算的结果等于_________． 【答案】解：．故答案为：．15．计算__．【答案】3解：原式．故答案为：3．16．化简：___________【答案】解：要使该二次根式有意义，则有故答案为：．17．化简的结果为____．【答案】解：原式 ．故答案为：．18．若有理数x，y，z满足（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）＝36，则x+2y+3z的最小值是_____．【答案】﹣8解：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1＞3，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1﹣（x﹣2）＝3，当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝2x﹣1＞3，所以可知|x+1|+|x﹣2|≥3，同理可得：|y﹣1|+|y﹣3|≥2，|z﹣3|+|z+3|≥6，所以（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）≥3×2×6＝36，所以|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣1|+|y﹣3|＝2，|z﹣3|+|z+3|＝6，所以﹣1≤x≤2，1≤y≤3，﹣3≤z≤3，∴x+2y+3z的最大值为：2+2×3+3×3＝17，x+2y+3z的最小值为：﹣1+2×1+3×（﹣3）＝﹣8．故答案为：﹣8．19．已知，则的最小值为__．【答案】．，，可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和， 当，的最小值为3；当时，的最小值为6，的范围为，的范围为，当，时，的值最小，最小值为．故答案为：．20．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．【答案】解：∴，∴，，∴的最小值为，故答案为：．21．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；5解：（1）原式．（2）原式，．当时，原式．22．计算：． 【答案】解：原式．23．已知a，b，c满足，请回答下列问题：（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒解：（1）∵，∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，∴a=-3，b=1，c=5，数轴表示如下：（2）①由题意可得：1.5秒后，点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，0.5-（-1.5）=2，∴A，C两点相距2个单位长度；②设t秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度，若点A在点C左侧，则-3+t+4=5-3t，解得：t=1；若点A在点C右侧， 则-3+t=5-3t+4，解得：t=3，综上：1秒或3秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．24．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）_______．（2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3解：（1）原式=|4+2|=6，故答案为：6；（2）令x-4=0或x+2=0时，则x=4或x=-2，当x＜-2时，∴-（x-4）-（x+2）=6，∴-x+4-x-2=6，∴x=-2（范围内不成立）；当-2＜x＜4时，∴-（x-4）+（x+2）=6，∴-x+4+x+2=6，∴6=6，∴x=-1，0，1，2，3；当x＞4时，∴（x-4）+（x+2）=6，∴x-4+x+2=6，∴x=4（范围内不成立），∴综上所述，符合条件的整数x有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）|x-3|+|x-6|表示数轴上到3和6的距离之和， ∴当x在3和6之间时（包含3和6），|x-3|+|x-6|有最小值3．25．（1）已知，求代数式的值；（2）化简：．【答案】（1）；（2）.解：（1）由已知得：，原式（2）原式．26．先化简，再求值：，其中．【答案】；解：．当时，原式．27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚． （1）嘉嘉认为污染的数为，计算“”的结果；（2）若，淇淇认为存在一个整数，可以使得“”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．【答案】（1）；（2）．解：（1）；（2）设污染的数字为，∴∵∴是整数∵的结果是整数∴是整数∵是无理数，是整数∴即存在整数满足题意．28．（1）计算： （2）先化简再求值：，其中．【答案】（1）2；（2），解：（1）（2）=，当时，原式．29．已知，求代数式的值．【答案】，1解： ．∵，∴．∴原式．30．计算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），=，=，=；（2），=，=，=；（3），=， =；（4），=，=．