初升高数学全体系衔接专题06二次函数的简单应用（教师版）

专题06二次函数的简单应用专题综述课程要求二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求《初中课程要求》要求会通过图象发现些信息，但只停留在会识图的基础之上，而不是应用图象解决问题《高中课程要求》会灵活应用各种函数的图象，如利用函数图象求值域、解方程、求根的个数、解不等式等知识精讲高中必备知识点1：平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．高中必备知识点2：对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．,高中必备知识点3：分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．典例剖析高中必备知识点1：平移变换【典型例题】如图，抛物线y=ax2+bx-3经过A(-1,0)，B(3,0)两点，顶点为D． (1)求a和b的值；(2)将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．①求平移后所得图象的函数解析式；②若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．【答案】(1)b=-2a=1；(2)①y=x2-2x+1，②将抛物线y=(x-1)2向左平移2个单位长度或向右平移1+2个单位长度．【解析】(1)将A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx-3，得：9s+3b-3=0a-b-3=0，解得：b=-2a=1．(2)①∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴抛物线顶点D的坐标为(1,-4)．,∵将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,0)，∴平移后的抛物线为y=(x-1)2，即y=x2-2x+1．②若将抛物线y=(x-1)2向左平移k(k>0)个单位长度，则新抛物线的解析式为y=(x-1+k)2，∵当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值2，∴新抛物线必过点(1,2)，∴2=(1-1+k)2，解得：k1=2，k2=-2(舍去)；若将抛物线y=(x-1)2向右平移k(k>0)个单位长度，则新抛物线的解析式为y=(x-1-k)2，∵当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值2，∴新抛物线必过点(2,2)．∴2=(2-1-k)2，解得：k1=2+1，k2=-2+1(舍去)．∴将抛物线y=(x-1)2向左平移2个单位长度或向右平移1+2个单位长度．【变式训练】已知抛物线y=-13x2，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？【答案】向上平移3个单位．【解析】由题意知，△ABC必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为y=-13x2+k，则C(0,k)，A(-k,0)，B(k,0)，代(k,0)入抛物线方程得：0=-13k2+k，,∴k=0(舍去)，k=3．所以向上平移3个单位．【能力提升】已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【解析】（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）∵将抛物线y=x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：y=（x﹣1）2．高中必备知识点2：对称变换【典型例题】如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；,【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P(1+372，1-372)．【解析】(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：&4a+4+c=0&c=-8，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴D(1，﹣9)．(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B(4，0)．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E(1，0)．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=1-372或x=1+372．∵点P在第四象限，∴x=1+372．∴y=1-372．,∴P(1+372，1-372)．【变式训练】已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,52）.(1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.【答案】（1）y=12(x-3)2-2.（2）m>n.【解析】(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,根据题意得9a-2=52解得a=12，所以函数解析式是y=12(x-3)2-2.(2)因为a=12>0,所以抛物线开口向上,又因为二次函数的对称轴是直线x=3.所以当x>3时,y随x增大而增大,因为p>q>5>3,所以m>n.【能力提升】已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点（1，-2）．（1）求a的值；（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）a=-1；（2）y1＜y2．【解析】(1)、∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点（1，-2），∴-2=a(1-3)2+2，解得a=-1；(2)、∵函数y=-(x-3)2+2的对称轴为x=3，,∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，又∵抛物线开口向下，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∵m＜n＜3，∴y1＜y2．高中必备知识点3：分段函数【典型例题】函数，则的值是___．【答案】0【解析】∵函数f（x），∴f（1）＝1﹣1＝0，f（f（1））＝f（0）＝0．故答案为：0．【变式训练】已知函数f(x)=x+1,x<1x2-ax,x≥1，若f(f(0))=2，则a=_________．【答案】-1【解析】f0=1，f1=1-a=2，故a=-1，填-1．【能力提升】函数fx=2x-1,-1≤x<3,fx-4,x≥3,则f9=__________．【答案】1.【解析】,由题意得f(9)=f(9-4)=f(5)=f(5-4)=f(1)=2×1-1=1．故答案为：1．对点精练1．如图，菱形的对角线与相交于点，，，点在上运动．过点作交于，交于点，将沿翻折得到，若，与重叠部分的面积为，下列图象能正确反映与的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A解：分情况讨论：①当翻折后点G在点O的左侧时（如图①），即2≤x≤4，∵EF∥AC，∴∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA，∴△BEF∽△BAC，,∴，即BN=EF=4-x，由四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵EF∥AC，∴EF⊥BD，翻折后，重叠部分；②当翻折后点G在点O的右侧时（如图②），即0≤x≤2，翻折后，重叠部分y=S梯形HIEF，∵ON=x，BN=4-x，GN=BN=4-x，∴OG=4-2x，又∵EF∥AC，同理可得△GHI∽△GEF，∴HI=OG=4-2x，∴，综上所述，，故选：A．2．如图，在中，是边上的中线，将沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移运动的时间为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象能反映与之间函数关系的是（）,A．B．C．D．【答案】A当时，平移了个单位长度，即∵∴，∴，∴∵中，是边上的中线∴∴与是等腰三角形,∵沿射线方向平移后的三角形记为∴∵∴是的中位线∴∴即时，，故可得C、D错误，故舍去当，如图：∵∴∴∴可见当时，，函数图像为开口向上的抛物线，则A符合题意，B为一次函数不符合题意．故选A．,3．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（　　）A．B．C．D．【答案】A解：如图，连接，设，，则，，；为直角三角形，，即，,解得，根据函数关系式可看出中的函数图象与之对应．故选：A．4．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）A．B．C．D．【答案】A解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=+3将（0，0）代入解析式得a＝，∴抛物线解析式为y=，当x＝10时，y＝，∵＜2.44，满足题意，故选：A．5．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（）,A．B．C．D．【答案】D解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1），∵，，∴，∴-1≤m≤0，故选：D．6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．A．3B．6C．8D．9【答案】B解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，,抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．故选：B．7．已知二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C，点C关于轴的对称点为D点，若四边形为正方形，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C解：二次函数的图象与轴交于A、B两点，，，抛物线的对称轴为直线，设顶点C的坐标为，四边形为正方形，,，或，把C点的坐标代入得：或，解得：，故选：C．8．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）A．米B．8米C．10米D．2米【答案】B解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．9．已知中，，正方形中，和在同一直线上，将向右平移，则和正方形重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．,【答案】C依题意可得当0≤x≤2时，和正方形重叠部分为等腰直角△EBCBE=x∴y=当2＜x＜4时，和正方形重叠部分为五边形CMEFN，如图所示由题意可得S△CHM=，S△CGN=，∴S五边形CMEFN=2×2--=当4≤x≤6时，AF=6-x，∴y=∴y=故函数图象如下图所示：故选C．10．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F,在射线上，且，与相交于点G，连接、、、则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确结论的个数是（　　）A．2B．3C．4D．5【答案】B解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），,∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，∵∠ECH＋∠CEB＝90°，∴∠AEF＋∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG＋DH，DH＝BE，∴EG＝BE＋DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝AE＋AH＝AD＋DH＋AE＝AE＋EB＋AD＝AB＋AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a−x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a−x）∙x＝−x2＋ax＝−（x2−ax＋a2−a2）＝−（x−a）2＋a2，∵−＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x＋a，在Rt△AEG中，则有（x＋a）2＝（a−x）2＋（a）2，,解得：x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，∴①④⑤正确，正确结论的个数是3个，故选B．11．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．【答案】600解：由函数解析式是可化为，∴当t=20时，滑行距离s最大，最大距离为600，∴飞机着陆后滑行600米才能停下来；故答案为600．12．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为__________．【答案】1050平方米解：设BC=x米，则S=(100-x)=(x-50)2+1250（0＜x≤30），∵，对称轴为x=50，∴x=a=30时，S的最大值是1050．答：当a=30米时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1050平方米．,故答案为：1050平方米．13．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是_____．【答案】解：连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最小时，OQ最小，连接BC交圆于P时，PB最小，∵BC＝＝5，∴BP的最小值＝5﹣2＝3，∴线段OQ的最小值为．故答案为：．14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C,顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．【答案】解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴△BDC≌△AEC，∴∠B=∠CAE，∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，设BD=AE=x，则AD=（2-x），∴，∵，函数开口向下，函数有最大值，当x=1时，．故答案为：．15．如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点О是坐标原点，点A的坐标是，点C在x,轴上，点在边BC上，将沿AD折叠，得到，若抛物线（且a为常数）的顶点落在的内部（不含边界），则a的取值范围是__________．【答案】且折叠可知：BD=ED，AB=AE∵在矩形OABC中，A(0，6).D(10，1)∴AE=AB=10，BD=ED=5，∠B=∠E=90°过点E作EF垂直于y轴于G，交BC的延长线于点F∵∠AEG+∠DEF=90°，∠AEG+∠GAE=90°∴∠GAE=∠DEF，又∠AGE=∠F=90°∴△AGE∽△EFD∴设GE=x，则EF=10-x，DF=x由勾股定理得：DE2=DF2+EF2,x=10(舍去）或x=6∴E(6，-2)∵抛物线的对称轴是x==6设直线AD的解析式为y=kx+b.将A(0，6)、D(10，1)代入得：解得∴直线AD的解析式为：y=x+6将x=6代入得：y=3∴直线x=6与直线AD的交点坐标为（6，3）由因为抛物线顶点在△AED中，所以-2<-2a+1<3解得：，且a≠016．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有____个．【答案】4解：①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；由于∠AOH=30°，设A坐标为（a，b），,在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°==，设直线OA的方程为y=kx，把A的坐标代入得k==，∴直线OA的解析式：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；∴A（，）；②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；∴P（，3），即可得A（3，）；③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；∴P（，3），∴OP=2，QP=2，∴OH=OP=2，AH=QP=2，,∴A（2，2）；④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；∴P（，），∴QP=，OP=，∴OH=QP=，AH=OP=，∴A（，）．综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（，），（3，），（，2），（，）．故答案为：4．17．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．,【答案】解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．由题意可知C点坐标为(-4，0)．∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，故该抛物线的对称轴为．∴设该抛物线解析式为，又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，∴该抛物线又经过点(9，0)．∴，即，∴该抛物线解析式为．当x=0时，故点A坐标为(0，-27a)．由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．∴平移后的抛物线为．∴点D坐标为(3，)．设经过点A、C的直线解析式为，∴，解得．即经过点A、C的直线解析式为．又∵该直线经过点D．∴．解得：．故平移后的抛物线解析式为，,整理得：．当时，即，解得：（舍）．∴移动后最远落点到中心M的距离为米，∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）．故答案为：．18．如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A(-2，0)点B(1，0)，抛物线y=x2-4x+m与正方形有两个交点时，则m的取值范围是_______．【答案】∵A(-2，0)，B(1，0)，四边形ABCD是正方形．∴AB=1-(-2)=3．∴C点坐标为(1，3)．根据题意可知抛物线在点A和点C之间时符合题意．,当抛物线经过点A时，即将A点坐标代入中，得：，解得：．当抛物线经过点C时，即将C点坐标代入中，得：，解得：．综上，．故答案为：．19．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是__________m．【答案】10解：当y=0时，解得，x1=10，x2=-2（负值舍去），∴该男生把铅球推出的水平距离是10m．20．竖直上抛物体时，物休离地而的高度与运运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时高地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m．【答案】21.5解：由题意得：h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，∵a＝﹣5＜0，∴当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5．故答案为：21.5．21,．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【答案】（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是；（2）在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是解：（1）∵，∴令，得，解得，，∵，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是．（2），∴当时，取得最大值，最大值为20.∴在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，动点和点在轴上方抛物线上，点在点的右侧，轴．分别过点，点作轴于点，轴于点．,（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点的坐标；（2）设点的横坐标为，四边形的周长为，求的最大值；（3）在（2）的条件下，连接，，、点在轴下方抛物线上，点到的距离记为，点到的距离记为，当，①直接写出点的坐标；②将沿射线平移，平移后的三角形记为，在平移过程中，当三边所在直线最后一次经过点时，直接写出平移的距离．【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点的坐标为；（2）10；（3）①；②解：（1）将点，代人，得解得∴抛物线的表达式为，∴顶点的坐标为；（2）∵轴，轴，∴，∵轴，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，设点，∴点，∴，，,∴，∵，∴的最大值是10；（3）①如图，连接PF，CP，OP，PE，过点P作PN⊥EF交EF的延长线于N，过点C作CM⊥PN于M，连接BM．设P（x0，y0）．由（2）可知，a=2，∴E（2，3），F（0，3），C（1，4），∴CF=，OE=，∵S△PCF=S△PCM-S△PMB-S△CMB=（x0-y0+3）S△PCF=，∴h1=，同法h2=，∵，且y0＝+2x0+3，如图，x0＞3或x0＜-1，y0＜0，解得：，∴P（-4，-21）．②令x=-4代入lCF：y=x+3中，y=-1，,∴（-4，-21）不过点P，若直线CE平移后过点P，设平移后直线解析式为：y=-x+b，代入（-4，-21），得b=-25，此时平移距离为[5−(−25)]＝15，若直线EF平移后过点P，设F'（f，-21），代入lCF：y=x+3中，得f=-24，∴平移距离为，∴直线最后一次经过点P时，平移的距离为24．23．天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y件，销售单价为x元/件．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）设商场每天的销售利润为w（元），若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．【答案】（1）；（2）1950元解：（1）当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，销售量件，销售单价元件之间的关系为：；（2）每天销售量不少于150件，，即，解得，商场每天的销售利润，关于的抛物线对称轴为，而，开口向下，当时，图象在对称轴左侧，随的增大而增大，时，最大，且最大值为1950，若每天销售量不少于150件，则商场每天的最大利润是1950元．24．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接．,（1）求这个抛物线的表达式．（2）点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．（3）①点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点的坐标；②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当时，求出满足条件的所有点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）①或，②或或解：（1）∵抛物线交轴于点和点，∴抛物线的表达式为：，即，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）连接，设点，则，．故有最大值，当时，的最大值为；,（3）①如图2，若点在左侧，连接，，且，，且，，∴点坐标，若点在右侧，同理可求点；②如图3，∵抛物线的表达式为：；∴对称轴为：直线，∴点在对称轴上，，∴点是的中点，，∴点，点，点在以为直径的圆上，当点在以为直径的圆上时，，符合题意，∵点，点，，且点在抛物线对称轴上，,∴点，点，延长交对称轴与，∵点，点，∴直线解析式为：，∴当时，，∴点的坐标，∵点的坐标，点，点，且，，，∴点符合题意，综上所述：点的坐标为：或或．25．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量（万件）与售价（元/件）的函数关系式为（1）当售价为60元/件时，年销售量为________万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出的取值范围．【答案】（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）（1）．（2）设销售该产品的年利润为万元，当时，．∵，∴当时，当时，∵，∴当时，∵，∴当时，∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元．,（3）理由如下：由题意得26．某商场销售每件进货价为40元的一种商品，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系．（1）商场每月想从这种商品销售中获利36000元，该如何给这种商品定价？（2）市场监管局规定，该商品的每件售价不得高于60元，请问售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）商品可定价为每件70元或100元；（2）售价定为每件60元可获得最大利润，最大利润是28000元解：（1）由题意得：，解得，，．∴这种商品可定价为每件70元或100元．（2）由题意得：∵该商品的每件售价不得高于60元，每件售价不低于进货价40元，∴．设利润为元，则，∵，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大，∴当时，取得最大值，此时．∴售价定为每件60元可获得最大利润，最大利润是28000元．27．某书店销售一本畅销的小说，每本进价为20元．根据以往经验，当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．（1）请求出书店销售该小说每天的销售量y（本）与销售单价x元）之间的函数关系式；（2）书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说售价为多少元？最大利润是多少？,【答案】（1）；（2）小说每本售价36元时，每天扣除捐赠后获得的利润最大，最大利润为1960元（1）销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：，∴．（2）设每天扣除捐赠后可获得的利润为W元，则，化简并配方，得：，∵，∴抛物线开口向下，有最大值，当时，．故小说每本售价36元时，每天扣除捐赠后获得的利润最大，最大利润为1960元．28．某蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，第天上市的该种蔬菜每千克的市场售价为元，是关于的一次函数，其中部分对应数据如下表；第天上市的该种蔬菜每千克的种植成本为元，与满足关系．123…5.044.984.92…（1）求市场售价关于的函数表达式，并写出的取值范围；（2）若市场售价减去种植成本为利润，自5月1日起的50天内，第几天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）（，取正整数）；（2）第22天时，每千克利润最大，最大值为1.69元．（1）设，∵函数图象过点，，∴,解得：，∴（，取正整数）．（2）设纯利润为，由题意得因为，且，所以时，每千克利润最大，最大值为1.69元．29．某地区在开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线）．（1）求每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式；（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【答案】（1）y=x+7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．解：（1）设，将和代入得，，解得．；（2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：y=a（x-6）2+1，把代入得，,4=a（3-6）2+1，解得．，即．收益，，当时，．故5月出售每千克收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益：，当时，，解得：x1=7，x2=3，，为正整数，∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．30．今年甲、乙两个果园的红心猕猴桃喜获丰收，已知甲果园的总产量为27吨，乙果园的总产量13吨，某果业公司租用、两种型号的保鲜货车去果园运输猕猴桃，甲果园需要型保鲜货车满载猕猴桃运输6趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输5趟才能刚好运输完：乙果园需型保鲜货车满载猕猴桃运输2趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输3趟刚好运输完．（1）求、两种保鲜货车满载猕猴桃运输一趟分别是多少吨？（2）果业公司收购该批猕猴桃的单价为0.8万元/吨，目前公司可以0.9万元/吨的价格售出，如果保鲜冷藏储存起来，旺市再销售以便获取最大利润，由于失水和腐烂，水果重量每天减少0.5吨，且每天需支付各种费用0.08万元/吨，而每天的价格会持续上涨0.1万元/吨、如果公司计划把该批猕猴桃最多保鲜冷藏储存20天，那么储存多少天后出售这批猕猴桃所获得的利润最大？最大利润是多少万元？【答案】（1）型保鲜货车的满载重量为2吨，型保鲜货车的满载重量为3吨；（2）保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元（1）设A型保鲜货车载重量为吨，型保鲜货车载重量为吨，由题意得：，,解之得：，所以A型保鲜货车的满载重量为2吨，型保鲜货车的满载重量为3吨．（2）设储存天之后，获得利润为万元，根据题得：∵，∴有最大值，∵对称轴为，且，为整数，∴当或4时，答：保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元．