初升高数学全体系衔接专题16 集合间的基本关系（教师版）

专题16集合间的基本关系学习目标1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解空集的含义3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨]　(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A⊆B，且A≠B，则AB． 高中必备知识点3：空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．高中必备知识点4：集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(3)若A⊆B，A≠B，则AB．典例剖析高中必会题型1：确定集合的子集、真子集1．（1）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．（2）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．【答案】（1）{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；（2）{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．（1）因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，又因为M⊆{1，2，3，4，5}，所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．（2）若M只含1个元素，则M={3}；若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}； 若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；若M含5个元素，则M={1，2，3，4，5}．所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．2．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.【答案】见解析集合{0,1,2}的所有子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.真子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.3．已知，则求：（1）集合A的子集的个数，并判断Æ与集合A的关系（2）请写出集合A的所有非空真子集【答案】（1）8，ÆÜ（2），，，，，（1）的子集有Æ，，，，，，，共8个，其中ÆÜ.（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.4．（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集；（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？【答案】（1）见解析；（2）有个子集，个真子集.（1）集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、；（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有个子集，个真子集.5．举出下列各集合的一个子集：（1）A={是立德中学的学生}；（2）B={是三角形}；（3）；（4）. 【答案】（1）{是立德中学的女生}（2）{是直角三角形}（3）（4）（1）{是立德中学的女生}（2）{是直角三角形}（3）（4）高中必会题型2：集合间关系的判断1．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．【答案】(1)AB(2)BA.(1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}，∴利用数轴判断A、B的关系．如图所示，AB.(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴BA.2．判断下列各组中集合之间的关系：（1）A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；（2）A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； （3）A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}.【答案】（1）AÜB；（2）DÜBÜAÜC；（3）AÜB.（1）因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AÜB.（2）由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DÜBÜAÜC.（3）易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AÜB.3．指出下列集合之间的关系：，．【答案】Ü集合表示的是直线上的一些孤立的点的集合，而集合表示的是直线上所有的点的集合，因此Ü.4．写出下列每对集合之间的关系：（1），；（2），；（3），；（4）是对角线相等且互相平分的四边形，是有一个内角为直角的平行四边形．【答案】（1）Ü；（2）；（3）Ü；（4）．（1）因为B的每个元素都属于A，而且，所以Ü．（2）不难看出，C和D包含的元素都是1和，所以．（3）在数轴上表示出区间E和F，如图所示．由图可知Ü．（4）如果，则是对角线相等且互相平分的四边形，所以是矩形，从而可知 是有一个内角为直角的平行四边形，所以，因此．反之，如果，则是有一个内角为直角的平行四边形，所以是矩形，从而可知是对角线相等且互相平分的四边形，所以，因此．综上可知，．5．已知集合，集合，试判断与之间的关系，并说明理由．【答案】A是B的真子集.，理由见解析因为，则的几何意义是轴上的点到定点与点的距离之差．即．∵三角形两边之差的绝对值小于第三边，∴且，，三点不共线，即．∴．即；又，∴A是B的真子集.高中必会题型3：由集合间的关系求参数问题1．设集合，不等式的解集为.（1）当时，求集合，.（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.（1）解：当时，， 解不等式得：，即.（2）解：若，则有：①，即，即，符合题意，②，有，解得：.综合①②得：.2．设集合，，若，求实数a的值．【答案】a≤－1或a＝1.∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得解得a＝1.(2)当时，又可分为两种情况．①当时，即B＝{0}或B＝{－4}，当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1.又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；②当时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.3．设集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，若B⊆A，求实数a的取值范围【答案】[﹣1，]∵集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}={x|（x﹣a）（x﹣2a）＜0}，B⊆A， ∴当a=0时，B=∅，成立；当a＜0时，B={x|2a＜x＜a}，由B⊆A，得，解得﹣1≤a＜0，当a＞0时，B={x|a＜x＜2a}，由B⊆A，得，解得0＜a，综上，实数a的取值范围是[﹣1，].4．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围．【答案】m≤1．∵B⊆A，若B＝∅，则m≤0，满足B⊆A，若B≠∅，则m＞0，由B⊆A，得m≤1，解得，0＜m≤1．综上所述：实数m的取值范围为m≤1．5．设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠∅且B⊆A，求a，b.【答案】答案见解析因为B≠∅，B⊆A，所以B={﹣3}或{4}或{﹣3，4}.当B={﹣3}时，，解得a=﹣3，b=9；当B={4}时，，解得a=4，b=16；当B={﹣3，4}时，，解得a=，b=﹣12.对点精练1．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C 解析由B⊆A，知x2=3或x2=x，解得x=±，或x=0，或x=1，当x=1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x=1舍去.故选：C2．以下四个关系：∅∈{0}，0∈∅，{∅}{0}，∅{0}，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈{0}错误；{∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以{∅}{0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅{0}正确．因此正确的只有1个．故选：A.3．设集合A={1，x2}，B={x}，且B⊆A，则实数x为（）A．0B．1C．0或1D．0或-1【答案】A因为B⊆A，所以x∈A，所以x=1或x=x2，x2≠1，解得x=0．故选：A.4．已知集合，.若，则的值为（）A．2B．1C．-1D．-2【答案】A因为，所以集合为双元素集，即所以.故选：A.5．下列集合与集合相等的是（）A．B． C．D．【答案】C集合表示数字和的集合.对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.故选：C.6．集合的真子集的个数是（　　）A．16B．8C．7D．4【答案】C解：∵，的真子集为：共7个．故选：C．7．设A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x等于（　　）A．0B．﹣2C．0或﹣2D．0或±2【答案】D因为A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x2＝4或x2＝x，解得x＝2或﹣2或1或0．①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足B⊆A．②当x＝1，集合A＝{1，4，1}不满足元素的互异性．③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足B⊆A．④当x＝﹣2，集合A＝{1，4，﹣2}，B＝{1，4}，满足B⊆A．综上，x＝2或﹣2或0．故选：D．8．设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则（　　）A．M⫋NB．M⫌N C．M＝ND．以上都不正确【答案】B集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}＝{x|x＝2（2n±1），n∈Z}，故集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，故N⫋M，故选：B．9．对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是（）个.A．14B．12C．13D．11【答案】A∵A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，且A＝{1，3}，B＝{2，4}，所以A×B＝{（1，2），（1，4），（3，2），（3，4）}，共有四个元素，则点集A×B的非空真子集的个数是：24﹣2＝14.故选：A.10．设集合，，若AB，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A，，由数轴表示集合，作图如下：由图可知，即的取值范围是故选：A11．已知集合，则下列式子表示正确的有（） ①；②；③；④.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C因为，，，对于①，显然正确；对于②，，是集合与集合之间的关系，显然用不对；对于③，，根据空集是任何集合的子集知正确；对于④，，．根据子集的定义知正确．故选：C．12．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，则a等于A．1B．0C．－2D．－3【答案】C【解析】由题意得，选C.13．当集合时，___________，___________，___________.【答案】详解：由已知，所以，∴，，从而，即，∴．故答案为1，－1，0．14．已知A=，B=，若B⊆A，则实数m的取值范围为___．【答案】∵A=，B=，B⊆A，∴m≥2，∴实数m的取值范围为．故答案为：． 15．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________.【答案】0或±1因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2+2x+a=0仅有一根，当a=0时，方程化为2x=0，A={0}，符合题意；当a≠0时，Δ=4-4a2=0，解得a=±1.此时A={-1}或{1}，符合题意.综上所述a=0或a=±1.故答案为：0或±1.16．已知集合，若，则实数a的取值范围为___．【答案】．当时，方程化为，解得，此时，满足题意，当时，要使，则，解得且，所以使的实数a的取值范围为．故答案为：．17．已知集合，，若，求实数，的值.【答案】或.解：由已知，得（1）或.（2）解（1）得或，解（2）得或，又由集合中元素的互异性 得或.18．已知A＝{1，1+a，1+2a}，B＝{1，b，b2}，若A＝B，求a，b．【答案】a＝，b＝因为A＝B，则b＝1+a，b2＝1+2a，或b＝1+2a，b2＝1+a①若b＝1+a，b2＝1+2a，∴（1+a）2＝1+2a，∴a＝0.此时A中三个都是1，不符合集合元素的互异性.②若b＝1+2a，b2＝1+a，∴（1+2a）2＝1+a，∴4a2+3a＝0，由①知a＝0不成立，∴a＝，b＝1+2a＝．19．已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．因为B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B⊆A，①当B中有一个元素时，B＝{1}或B＝{﹣1}当B＝{1}时，，解得a＝2，b＝1；当B＝{﹣1}时，，解得a＝﹣2，b＝1；②当B中有两个元素时，B＝A，即B＝{﹣1，1}，，解得a＝0，b＝﹣1；③当时，只需满足a2﹣4b＜0，综上所述，a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0． 20．已知P＝{x|2≤x≤6}，Q＝{x|a≤x≤a+1}若Q⊆P，求a的范围.【答案】[2，5]因为P＝{x|2≤x≤6}，Q＝{x|a≤x≤a+1}，且Q⊆P，所以，解得2≤a≤5所以a的取值范围是[2，5]21．已知集合,,，且,求的取值范围.【答案】若A=∅，则a＜-2，故B=C=∅，满足CB；若A∅，即a-2，由在上是增函数，得，即①当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；综上所述，的取值范围是.22．已知集合，，判断这两个集合之间的关系.【答案】因为，，所以. 因为，，所以.故，，所以.