初升高数学全体系衔接专题09三角形（教师版）

专题09三角形专题综述课程要求三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.1.四心的地位所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它们的几何特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.2.四心的概念与常用性质内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等；垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，以形助数，以数解形.课程要求《初中课程要求》1、三角形及其性质2、全等三角形3、相似三角形4、直角三角形《高中课程要求》1、三角变换与解三角形的综合问题,2、解三角形与平面向量结合3、以平面图形为背景的解三角形问题知识精讲高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.高中必备知识点2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.典例剖析,高中必备知识点1：三角形的“四心”【典型例题】如图，在⊙O中，AB是的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA，（1）求证PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【答案】（1）详见解析；（2）①S阴影＝．②．【解析】（1）证明：连接OC､OP，∵点C在⊙O上，∴OC为半径．∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA．∴∠PAO＝90°．∵OC＝OA，OP＝OP，PC＝PA，∴△PCO≌△PAO．∴∠PCO＝∠PAO＝90°．∴PC⊥OC．∴PC是⊙O的切线．,（2）①作CM⊥AP于点M，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝，∠CEA＝90°．∴四边形CMAE是矩形．∴AM＝．∴PM＝AM．∴PC＝AC．∵PC＝PA，∴△PCA是等边三角形．∴∠PAC＝60°．∴∠CAB＝30°．∴∠COE＝60°．∴∠COD＝120°．在Rt△COE中，sin60°＝，∴OC＝2．∴S阴影＝π－．②∵AP=2,AH=CE=∴CH=AH=3又∵I为正△PAC的内心∴CI=CH=2∴IE===,【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM+1DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。【答案】（1）见解析；（2）①外心P一定落在直线DB上，见解析；②1DM+1DN为定值，1DM+1DN=1.【解析】（1）证明：如图I，分别连接OE、0F∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO=12∠ADC=12×60°=30°，,又∵E、F分别为DC、CB中点∴OE=12CD，OF=12BC，AO=12AD，∴0E=OF=OA，∴点O即为△AEF的外心，（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上，证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上，②1DM+1DN为定值1.当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心，,解法：如图3．设MN交BC于点G设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则CN=y-2由BC∥DA易证△GBP≌△MDP．∴BG=DM=x．∴CG=2-x，∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM∴CNDN=CGDM，∴y-2y=2-xx∴x+y=xy.∴1x+1y=1，即1DM+1DN=1.【能力提升】定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分别为点D、E，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD＝12AB，求∠APB的度数．（2）探究：如图3，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准内心P在AC边上（不与点A、C重合），求PA的长．【答案】（1）∠APB＝90°；（2）PA=32.【解析】,（1）∵准内心P在高CD上，∴①点P为∠CAD的角平分线与CD的交点，∵△ABC是等边三角形，∴∠PAD＝∠PAC＝30°，∵CD为等边三角形ABC的高，∴AD＝3DP，AD＝BD，与已知PD＝12AB矛盾，∴点P不可能为∠CAD的角平分线与CD的交点，同理可知②点P不可能为∠CBD的角平分线与CD的交点，③∵CD⊥AB，∴点P为∠BCA的平分线，此时，点P到AC和BC的距离相等，∵PD＝12AB，∴PD＝AD＝BD，∴∠APD＝∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°；（2）∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝BC2-AB2＝4，∵准内心在AC边上，（不与点A，B重合），∴点P为∠CBA的平分线与AC的交点，作PD⊥BC与点D，∴PA＝PD，BD＝BA＝3，设PA＝x，则x2+22＝（4﹣x）2，∴x＝32，即PA＝32．,高中必备知识点2：几种特殊的三角形【典型例题】问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．【答案】问题发现：BD＝CE；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD的长为2和2．【解析】问题发现：如图1,BD=CE,理由是∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵DE∥BC,∴BD=CE,拓展探究：结论仍然成立,如图2,由图1得,△ADE是等边三角形,,∴AD=AE,由旋转得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋转的性质)∴BD=CE,问题解决：当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时,设垂足为点F,此时有两种情况: ①如图3,∵△ADE是等边三角形,AF⊥DE,∴∠DAF=∠EAF=30°,∴∠BAD=30°,过D作DG⊥AB,垂足为G,∵AD=2,∴DG=1,AG=,∵AB=2,∴BG=AB-AG=,∴BD=2（勾股定理）,②如图4,同理得△BAD≌△CAE,,∴BD=CE,∵△ADE是等边三角形,∴∠ADE=60°,∵AD=AE,DE⊥AC,∴∠DAF=∠EAF=30°,∴EF=FD=AD=1,∴AF=,∴CF=AC+CF=2+=3,在Rt△EFC中,EC=,∴BD=EC=2.综上所述,BD的长为2和2.【变式训练】如图，两条射线BA//CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D．（1）求∠BPC的度数；（2）若，求AB+CD的值；（3）若为a，为b，为c，求证：a+b=c．【答案】（1）90°；（2）4；（3）证明见解析【解析】（1）∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠BCD，∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠BPC=90°；,（2）若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD∠BCD=30°，∴∠ABP∠ABC=60°．在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，CP=2．在Rt△PCD中，PD，CD=3，∴AB+CD=4．（3）如图，作PQ⊥BC．∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．∴△ABP≌△BQP（AAS）．同理△PQC≌△PCD（AAS），∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．【能力提升】如图，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．(1)求证：△BFG∽△FEG(2)求sin∠FBG的值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】解：(1)依题可得：BC=CE=EG=1，FG=AB=，∴BG=3，在△BFG和△FEG中，,∵，∠G=∠G，∴△BFG∽△FEG.(2)过点F作FH⊥BG于点H，如图，，则∠FHG=90°，∵△FEG是等腰三角形，EG=1，∴，∴FH=，∵△BFG∽△FEG，∴∠BFG=∠FEG=∠G，∴BF=BG=3BC=3，在Rt△FBH中，∴sin∠FBG=.对点精练1．如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（）．,A．B．C．D．【答案】D过点作交于点∵等边∴∵，∴∴∴∴第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；,…当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得∵2021为奇数∴第2021次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；故选：D．2．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（）A．B．C．D．【答案】C连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG=BE∵D点是AB的中点∴BD=AD，∴AD=ED,∴∠DAE=∠DEA∵BD=ED∴∠DEB=∠DBE∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90°在Rt△AEB中，由勾股定理得：∴∵∴∴故选：C．3．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）,A．①②④B．①②③C．③④D．①②③④【答案】D解：连接，，点为中点，，．，．，，．在和中，，，，，．，，．，．，，．，，始终为等腰直角三角形．，,．，．正确的有①②③④．故选D．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③【答案】D解：∵BE是AC边的中线，∴AE＝CE，∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，,∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．5．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（）A．12B．13C．14D．15【答案】B解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，根据勾股定理可得：AB=和AC=，所以：，∴当A，B，C三点共线时有最小值，即BC，在Rt△BDC中．故选：B6．已知、、4分别是等腰三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（）,A．6B．7C．-7或6D．6或7【答案】D解：∵a、b、4分别是等腰三角形三边的长，∴当a＝4或b＝4时，即：42−6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，此时，的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；当a＝b时，即△＝（−6）2−4×（k＋2）＝0，解得：k＝7，此时，的两个根为：x1=x2=3，符合题意；综上所述，k的值等于6或7，故选：D．7．如图，在锐角ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．1C．D．【答案】B如图，作于点H，交于点，作于点，则为所求最小值．由角平分线的性质可知，∴，即长为所求最小值．∵，∴为等腰直角三角形．∴．,故选B．8．如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】A解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AC2＝AG2＝12＋22＝5，CG2＝12＋32＝10，∴AC2＋AG2＝CG2，∴∠CAG＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC，在△CFG和△ADE中，,∵，∴△CFG≌△ADE（SAS），∴∠FCG＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAE＝∠ACF−∠FCG＝∠ACG＝45°，故选：A．9．如图，在中，，平分，于E，则下列结论中，不正确的是（）A．平分B．C．平分D．【答案】A∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB∴CD=ED，∴BC=BD+CD=BD+ED故选项B正确；∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵CD⊥AC，ED⊥AB∴∠C=∠DEA=90゜∴∠ADC=∠ADE即AD平分∠EDC故选项C正确；在△ACD中，AC+CD>AD∴ED+AC>AD故选项D正确；若DE平分∠ADB,则有∠BDE=∠ADE∵∠ADE=∠ADC∴∠ADE=∠ADC=∠BDE∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜∴∠BDE=60゜∴∠B=90゜-∠BDE=30゜显然这里∠B是不一定为30゜故选项A错误．故选：A．10．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（）A．海里B．海里C．40海里D．海里【答案】D解：过作于，如图所示：在中，，海里，∴（海里），（海里），∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，∴海里，∴海里，故选：D．11．如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，当的长为______时，是直角三角形．【答案】或①当E在AH的上方时，且∠AEH=90，根据折叠的性质，∠AEP=∠D=90，AD=AE，DP=PE，∴∠AEP=∠AEH=90，AD=AE=AB，∴点P、E、H在同一直线上，在Rt△ABH和Rt△AEH中，，∴Rt△ABHRt△AEH(HL)，∴EH=BH=3，设DP=x，则PC=8－x，HC=8-3=5， PH=PE+HE=x+3，在Rt△CPH中，，即，,解得，即DP=；②当E在AH的下方时，且∠AEH=90，如图：此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，∴DP=；综上，当DP的长为或时，是直角三角形．故答案为：或．12．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作过点轴交直线和直线于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_____．（用含正整数的代数式表示）【答案】解：点在直线上，,点横坐标为2，将代入得，点坐标为．△为等腰直角三角形，，点坐标为．．过点作轴，，的横坐标为3，将分别代入与中得，的纵坐标分别为3，，即，，，．点坐标为．同理可得，．故答案为：．13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上．若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为，则可表示为____．【答案】解：由等边三角形可知：,A1B1∥A2B2∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥…∥BnAn+1，∵直线yx与x轴的夹角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∴A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，可知∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，∴B1B2，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n﹣1，∴S1，S2，…，Sn＝22n﹣3．∴当n=2021时，故答案为：．14．如图，四边形ABCD中，ADBC，连接AC，AC⊥BC，∠BAD＝135°，E为AC上一点，连接BE，∠BEC＝2∠ACD，AD＝2，CE＝3，则线段BE＝__．【答案】5解：如图，过点E作EF//CD交BC于点F，作FG⊥BE于点G，,∵EF//CD，∴∠FEC＝∠ACD，∵∠BEC＝2∠ACD＝∠BEF+∠CEF，∴∠BEF＝∠CEF，∵AC⊥BC，FG⊥BE，∴CF＝GF，∵AD//BC，∴∠DAC＝∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝135°﹣90°＝45°，∴∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，设AE＝x，∴AC＝BC＝AE+EC＝x+3，在Rt△EGF和Rt△ECF中，，∴Rt△EGF≌Rt△ECF（HL），∴EG＝EC，∵∠DAC＝∠FCE＝90°，∠ACD＝∠CEF，∴△ADC∽△CFE，∴＝，∴＝，,∴CF＝，∴GF＝，∵∠BGF＝∠BCE＝90°，∠FBG＝∠EBC，∴△BFG∽△BEC，∴＝，∴＝，∴BG＝2，∴BE＝BG+GE＝BG+EC＝2+3＝5．故答案为：5．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），直线A1C1分别交AB，AC于点G，H．当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为_____．【答案】或1．解：如图1中，当AG=AH时，,∵AG=AH，∴∠AHG=∠AGH，∵∠A=∠A1，∠AGH=∠A1GB，∴∠AHG=∠A1BG，∴∠A1GB=∠A1BG，∴A1B=A1G=5，∴GC1=A1G-C1G=1，∵∠BC1G=90°，∴，∴，，如图2中，当GA=GH时，过点G作GM⊥AH于M．同法可证，GB=GA1，设GB=GA1=x，则有x2=32+（4-x）2，解得，,∴，∵GM∥BC，∴，∴，∴，∵GA=GH，GM⊥AH，∴AM=HM，∴AH=3，∴CH=AC-AM=1．当HG=AH时，∠HGA=∠HAG<45°<∠ABC（大边对大角，小边对小角），∴∠A1HC=∠HGA+∠HAG<90°，∴∠C1BC=360°-90°-90°-∠A1HC＞90°，即旋转角度大于90°，不符合题意．综上所述，满足条件的CH的值为或1．故答案为：或1．16．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．【答案】．如下图，连接DE，与相交于点O，,将△BDE沿DE折叠，，,又∵D为BC的中点，，，,,,即与所夹锐角的度数是．故答案为：．17．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC______S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．【答案】＞=3，，故填：＞．18．如图，____________．,【答案】∵∠BAC和∠DAE分别是△ACE和△ABD的外角，∴∠BAC=∠C+∠E，∠DAE=∠B+∠D，∴∠CAD+∠BAC+∠DAE=180°，故答案为：180°19．如图，在中，，，，平分，，则的长是__________．【答案】5在中，，，，∴，∵平分，∴∠ABD=∠DBC，∵，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=5．,故答案为：5．20．如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=，则CD的长为_______．【答案】解：由旋转得：AD=AB=，∵在Rt△ABC中，∠C=30°，∠CAB=90°，∴∠B=60°，∵AD=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∵∠DAB+∠ADB+∠B=180°，∴∠DAB=∠ADB=∠B=60°，∴AD=AB=DB=，在Rt△CAB中，∠C=30°，∠CAB=90°，∴AB=BC，∴BC=2AB=2，∴CD=BC-BD=2-=．故CD的长为．21．如图1，在中，，，点是的中点，连接，点是上一点，连接并延长交于点．,（1）若点是中点，求证：；（2）如图2，若．①求证：；②猜想的值并写出计算过程．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②解：（1）证明：，，点是的中点，点是中点，，，，，；（2）①证明：连接，，，，，，,，，即，，；设，则，，，，；②猜想：，理由如下：，，．22．如图，边长为1的正方形中，点在上，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，，点是正方形的中心，连接，．（1）求证：；（2）请判断的形状，并说明理由；（3）若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积为，求关于的函数关系式（写出的范围）；若点在射线上运动，且的面积为，请直接写出长．【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3），长为,或3解：（1）证明：∵，，∴．又∵，∴，，∴．在△AMB和△BNC中，∴，∴．（2）是等腰直角三角形，理由如下：连接，∵为正方形的中心∴，，，∵，∴，即．在△AMO和△BNO中，∴，∴，，∵，∵，，∴，,∴是等腰直角三角形．（3）在Rt△ABK中，BK=，∵S△ABK=×AK×AB=×BK×AM，∴AM=，∴BN=AM=，∵cos∠ABK=，∴BM=，∴MN=BM-BN=，∵OM=ON=，S△OMN=，∴S△OMN=，∴，当点在线段上时，则，解得：（不合题意舍去），，当点在线段的延长线时，同理可求得，∴，,解得：，（不合题意舍去），综上所述：长为或3时，的面积为．23．如图，在正方形中，动点，分别在边，上移动（不与顶点重合），且满足．连接和，交于点．（1）请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）由于点，的移动，使得点也随之运动．①请用文字描述并且在图中画出点的运动路径；②若，请求出线段的最小值．【答案】（1），，见解析；（2）①点的运动路径是以为直径的圆的圆弧（去除端点，）；②解：（1），，理由是：∵四边形是正方形，∴，，∵，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，,∴，∴；（2）如图，①∵点在运动中保持，设正方形的中心为，∴得出点的运动路径是以为直径的圆的圆弧（去除端点，），②设的中点（圆心）为，连接交圆弧于点，此时线段的长度最小．在中，∴即线段的最小值是．24．在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，点坐标为，，点在轴上（点在点的右侧），，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（）．,（1）如图，当点在线段上时．①求点的坐标：②当是等腰三角形时，求的值；（2）是否存在时刻，使得，若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）①；②；（2）存在，解：（1）①∵，∴，∴在中，，∵，∴∴；②∵∴∴在中，．∴，,在中，，∵BP=t，AQ=3t，∴CP=3-t，CQ=5-3t，∴当是等腰三角形时，，∴3-t=5-3t，∴t=1；（2）如图，设运动t秒时，PQ⊥AB，则PB=t，PC=3-t,AQ=3t，∴Q的坐标为3t-；∵sin∠CBO=,∴∠CBO=30°，过点P作PE⊥OC，垂足为E，∴PE∥OB，∴∠CBO=∠CPE=30°，∴PE=PCcos30°=（3-t），CE=PCsin30°=（3-t），∴点E(t，0)，∴QE=3t--（t）=t-，延长QP交AB于点D，∵PQ⊥AB，∠A=∠A，∴△ADQ∽△AOB，∴∠AQD=∠ABO，,∴tan∠AQD=tan∠ABO，根据（1）知OA=，，∴tan∠AQD=tan∠ABO==÷=，∴=，∴（3-t）：(t-)=，解得t=1.96．25．如图，在中，点D，E分别在边，上，且，点P与点C关于直线成轴对称．（1）求作点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）,（2）连接EP，若，判断点P是否在直线上，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）点P在直线上，见解析（1）如图点P即为所求．解法一：解法二：（2）点P在直线上，理由如下：如图，连接，设线段与交于点Q，∵点P与点C关于直线成轴对称，∴垂直平分．∴，．∵，∴．∴四边形是菱形．∴∴，．,∴．∴．∵，设，则．∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．又∵点Q在上，∴点Q与点P重合．∴点P在直线上．26．如图，在矩形中，点是边上一点，．（1）过作于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；,（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析解：（1）解：如图，在DE另一侧取点K，以A为圆心，以AK为半径画弧，交DE于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点G，连接AG交DE与F，线段AF即为所求作线段；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AB＝CD．∴∠AEB＝∠DAE，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠AEB＝∠AED，∵AB⊥BE，AF⊥ED，∴AB＝AF，∴AF＝CD．27．如图，中，，，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，过作于点，连接．,（1）求证：；（2）求的最小值；（3）若，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．解：（1）证明：∵，∴，∵，，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，在和中，∴；（2）由（1）得，∴，，∴，由勾股定理得，，当时，的最小值为，∴的最小值为；,（3）由（1）得，，，整理得，，，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，，∴，∴，∴，，，∴．28．如图，，直线过点，直线，直线，垂足分别为、，且．（1）求证；（2）求证．【答案】证明见解析．证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝，在Rt△AMB和Rt△CNA中，，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；,（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝，∴∠CAN+∠BAM＝，∴∠BAC＝﹣＝29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）（1）证明：∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，∴AD=BD=CD．∴四边形ADCE是菱形．（2）解：过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H．在Rt△ABC中，∠ABC30°，AC2，∴BC，AB．∴ADBC2，∵四边形ADCE是菱形，∴AEAD2，∵AE//BC，∴∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，EH，,AH．∴HBAH＋AB．在Rt△BEH中，BE．30．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则周长为__________．【答案】6∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝，∴△AA'C是等边三角形，∵，∴AC＝＝＝2周长为2+2+2=6．故答案为：6