初升高数学全体系衔接专题02分解因式（教师版）

专题02分解因式专题综述课程要求因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备.因此，它起到了初、高中承上启下的作用.分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题中的应用较多，在几何学中同样有应用.用十字相乘法分解因式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘法写出的因式漏写字母.因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．课程要求《初中课程要求》1、大大弱化了十字相乘法的学习.一般只接触过二次项系数为1的十字相乘法2、初中重点学习了提取公因式法、公式法，针对ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，只学习了二次项系数为1的因式分解《高中课程要求》1、有大量二次项系数不为1的十字相乘法，会拆分多项式，用十字相乘法因式分解2、对于项数比较多的多项式，要综合使用提取公因式法、分组分解法、十宇相乘法、公式法来进行因式分解，还会接触到拆项法、添项法等.针对ax2+bx+c（a≠0）的因式分解要用公式法或十字相乘法因式分解知识精讲,高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则.要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号；（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2.符号语言：3.提公因式的步骤：（1）确定公因式（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）,4.注意事项：因式分解一定要彻底高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.典例剖析高中必备知识点1：十字相乘法【典型例题】阅读与思考：将式子x2-6x+8分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由x2+p+qx+pq=x+px+q得x+px+q=x2+p+qx+pq，；分析：这个式子的常数项8=(-2)×(-4)，一次项系数-6=(-2)+(-4)，所以x2-6x+8=x2+(-2)+(-4)x+(-2)×(-4).解：x2-6x+8=(x-2)(x-4).法二：配方的思想.x2-6x+8=x2-6x+9-9+8=（x-3）2-1=（x-3+1）⋅（x-3-1）=（x-2）⋅（x-4）.请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：x2-10x+21；（2）任选一种方法分解因式：(x2-6)2-2(x2-6)-3.,【答案】（1）（x-3）⋅（x-7）；（2）(x2-5）(x+3)(x-3)【解析】（1）法一：x2-10x+21=（x-3）⋅（x-7）,法二：x2-10x+21=x2-10x+25-25+21=（x-5）2-4=（x-5+2）⋅（x-5-2）=（x-3）⋅（x-7）,（2）(x2-6)2-2(x2-6)-3=(x2-6+1）(x2-6-3)=(x2-5）(x2-9)=(x2-5）(x+3)(x-3).或(x2-6)2-2(x2-6)-3=(x2-6)2-2(x2-6)+1-1-3=(x2-6-1)2-4=(x2-7)2-4=(x2-7+2)(x2-7-2)=(x2-5)(x2-9)=(x2-5）(x+3)(x-3).【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；,（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．【答案】（1）x+2x+4；（2）(x+2)(x-3)；（3）x-2yx-3y；（4）x(x-3)(x+1).【解析】解：(1)x2+6x+8=(x+2)(x+4)；(2)x2-x-6=(x+2)(x-3)；(3)x2-5xy+6y2=(x-2y)(x-3y)；(4)x3-2x2-3x=x(x-3)(x+1)．故答案为：(1)x+2x+4；(2)(x+2)(x-3)；(3)x-2yx-3y；(4)x(x-3)(x+1).【能力提升】由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．实例　分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试　分解因式：x2＋6x＋8；(2)应用　请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.【答案】(1)(x+2)(x＋4)；(2)x＝4或x＝－1.【解析】(1)原式=(x+2)(x＋4)；　(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法【典型例题】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是，共应用了次.,(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）；(3)(x＋1)【解析】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为：提公因式法，2次；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x(x+1)2004，=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x(x+1)2003]⋯==（1+x）2005，故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为：（x+1）n+1．【变式训练】因式分解：（1）16a2﹣4b2（2）x3﹣2x2+x（3）（a2﹣2b）2﹣（1﹣2b）2【答案】（1）4（2a+b）（2a﹣b）；（2）x（x﹣1）2；（3）（a2﹣4b+1）（a+1）（a﹣1）．【解析】解：（1）原式＝4（4a2﹣b2）＝4（2a+b）（2a﹣b）；（2）x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2；（3）（a2﹣2b）2﹣（1﹣2b）2＝（a2﹣2b+1﹣2b）（a2﹣2b﹣1+2b）,＝（a2﹣4b+1）（a+1）（a﹣1）．【能力提升】分解因式：（1）-4ab-8b2+10b（2）2(n-m)2-m(m-n)（3）15y(a-b)2-3y(b-a)（4）6(m-n)3-12(n-m)2（5）x2+3x+1=0，求2x2010+6x2009+2x2008的值【答案】（1）-2b（2a+4b-5）；（2）（n-m）（2n-m）；（3）3y（a-b）[5a-5b+1]；（4）6（n-m）2（m-n-2）；（5）0【解析】（1）-4ab-8b2+10b=-2b（2a+4b-5）；（2）2(n-m)2-mm-n=2n-m2+mn-m=（n-m）（2n-m）；（3）15y(a-b)2-3yb-a=15ya-b2+3ya-b=3ya-b[5a-5b）+1]（4）6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2)（5）2x2010+6x2009+2x2008=2x2008x2+3x+1=0高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解【典型例题】因式分解：x2+2x2-7x2+2x-8【答案】x-2x+4x+12【解析】解：原式＝x2＋2x-8x2＋2x＋1＝x-2x＋4x＋12【变式训练】分解因式：x2-x2+x2-x-6．【答案】（x2-x+3）（x+1）（x-2）．,【解析】原式=（x2-x+3）（x2-x-2）=（x2-x+3）（x+1）（x-2）．【能力提升】阅读材料：对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式．但对于多项式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变．解题过程如下：x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)参照上述材料，回答下列问题：(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法(　　)A．提公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法D．没有因式分解(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________；(3)请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．【答案】(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m－2n)(m－4n)．【解析】(1)C；(2)平方差公式法；(3)m2－6mn＋8n2＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2＝m2－6mn＋9n2－n2＝(m－3n)2－n2＝(m－2n)(m－4n)．,对点精练1．对于：①；②；③；④．其中因式分解正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【答案】D解：①，此项错误；②，此项正确；③，此项错误；④，此项正确．故选D．2．代数式因式分解为（　　）A．B．C．D．【答案】A解：．故选：A．3．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（）A．1B．7C．11D．13,【答案】B解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），所以a=4，b=5，c=-3，所以a-c=4-（-3）=7，故选：B．4．下列因式分解正确的是（）A．B．C．D．【答案】C解：A．，该选项分解错误，故不符合题意；B．，该选项分解错误，故不符合题意；C．，该选项分解正确，故符合题意；D．，该选项分解错误，故不符合题意；故选：C．5．已知中，，若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B∵a2﹣ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）（a+b）＝0，∴a＝2b，或a＝﹣b（不符合题意），∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，∴c＝b，∴a：b：c＝2b：b：b＝2：1：．故选：B．,6．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．B．C．D．【答案】A解：A．原式不能分解，符合题意；B．原式，不符合题意；C．原式，不符合题意；D．原式，不符合题意；故选：A．7．如图，中，，将沿方向平移个单位得（其中的对应点分别是），设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为（）A．B．C．D．【答案】B∵，∴，由平移可知，AD=b，∴，∵的面积比的大，∴，∴，∴，,∴，∴，∴.故选B.8．若，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．无法确定【答案】A∵，，∴===＞＞0，∴．故选A．9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（）A．56B．60C．62D．88【答案】B解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；,C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；故选：B．10．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价,现有种方案：①第一次提价,第二次提价；②第一次提价,第二次提价；③第一次、第二次提价均为.其中和是不相等的正数.下列说法正确的是()A．方案①提价最多B．方案②提价最多C．方案③提价最多D．三种方案提价一样多【答案】C解：设，，则提价后三种方案的价格分别为：方案①:；方案②:；方案③:，方案③比方案①提价多：，和是不相等的正数，，，方案③提价最多．故选：C．11．若，，则代数式的值等于__．【答案】-3解：∵ab=3，a+b=-1，,a2b+ab2=ab（a+b）=3×（-1）=-3．故答案为：-3．12．若，，则________．【答案】4解：，当，，∴原式=．故答案为：4．13．分解因式：__________．【答案】原式，，故答案为：．14．边长为a，b的长方形的周长为10，面积为5，则的值为_____．【答案】25解：∵边长为a，b的长方形的周长为10，面积为5，∴2（a+b）=10，ab=5，故a+b=5，则a2b+ab2=ab（a+b）=25．故答案为：25．15．已知，，则代数式的值为________________．【答案】解：，，,故答案为：．16．已知，则的值是_________【答案】由平方得：，且，则：，由得：，∴同理可得：，，∴原式=====故答案为：．17．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值为____．【答案】1,解：∵=4，∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，整理，得xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0．∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）=0，∴xyz=x+y+z，∴，即的值为1．故答案为：1．18．已知，那么______________．【答案】22100解：∵===42925∴=（2+1）（2-1）+（4-3）（4+3）+（6-5）（6+5）+┈+（50-49）（50+49）=（2+1）+（4+3）+（6+5）+┈+50+49=127542925+1275=44200,44200÷2=22100.19．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．【答案】．解：由面积可得：．故答案为．20．=_______．【答案】解：====21．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．,（1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；（2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？【答案】(1)；（2）画图见解析，；（3）266．解：(1)用面积和差计算得：；用长方形面积公式计算得：；可得等式为：；(2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：根据面积公式可得，；(3)（2）中拼成的长方形周长为66，则，解得，，,∴，即，图1中小长方形的面积为24，则，则，；拼成的长方形面积是266．22．若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如．（1）“十字点”为7的“十字数”为；130的“十字点”为；（2）若b是a的“十字点”，且a能被整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当时，求的值．【答案】（1）40，12；（2）4；（3）10解：（1）“十字点”为7的“十字数”，∵，∴130的“十字点”为12；（2）∵b是a的“十字点”，∴（b＞2且为正整数），∴，∵a能被整除，∴能整除2，∴b-1=1或b-1=2，∵b＞2，∴b=3，∴；（3）∵m的“十字点”为p，∴（p＞2且为正整数），∵n的“十字点”为q，,∴（q＞2且为正整数），∵，∴，∴，∴，∴，∵，p＞2，q＞2且p、q为正整数；∴p＞q，p+q＞4；∴p+q-1＞3；∵18=3×6=2×9，∴或；解得：（不合题意舍去），；∴23．发现与探索：（1）根据小明的解答将下列各式因式分解小明的解答：①②③（2）根据小丽的思考解决下列问题：小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．①说明：代数式的最小值为．,②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．【答案】（1）①（a-10）（a-2）；②（a-8）（a-2）；③（a-5b）（a-b）；（2）①见解析；②28解：（1）①a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=（a-6）2-42=（a-10）（a-2）；②（a-1）2-8（a-1）+7=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7=（a-5）2-32=（a-8）（a-2）；③a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-9b2+5b2=（a-3b）2-4b2=（a-5b）（a-b）；（2）①a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=（a-6）2-16，无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，则代数式（a-6）2-16大于等于-16，则a2-12a+20的最小值为-16；②无论a取何值-（a+1）2都小于等于0，再加上8，则代数式-（a+1）2+8小于等于8，则-（a+1）2+8的最大值为8，-a2+12a-8．=-（a2-12a+8）=-（a2-12a+36-36+8）=-（a-6）2+36-8=-（a-6）2+28无论a取何值-（a-6）2都小于等于0，再加上28，,则代数式-（a-6）2+28小于等于28，则-a2+12a-8的最大值为28．24．把下列多项式分解因式：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）==；（2）===；（3）====；（4）,===25．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果；（2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）48cm解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=88，mn=10，∴m2+n2=44，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=44+20=64，∵m+n＞0，∴m+n=8，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n）=48cm．26．因式分解：（1）（2）【答案】（1）；（2）,解：（1）=；（2）==27．因式分解：（1）；（2）．（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；（2）=；（3），=，=；（4），，，．28．分解因式：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）．解：（1）原式．,（2）原式．（3）原式．29．用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程：①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0（1）解题步骤正确的顺序是　　；（2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12【答案】（1）②④①③；（2）x1＝﹣5，x2＝3解：（1）∵x2﹣5x＝6，∴x2﹣5x﹣6＝0，∴（x＋1）（x﹣6）＝0，则x＋1＝0或x﹣6＝0，解得x1＝﹣1，x2＝6，故答案为：②④①③；（2）∵（x＋3）（x﹣1）＝12，∴x2＋2x﹣15＝0，则（x＋5）（x﹣3）＝0，∴x＋5＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣5，x2＝3.30．先化简，再求值：（1﹣），其中x＝﹣3．【答案】，解：（1﹣）==，将x＝﹣3代入，则原式＝＝．