初升高数学全体系衔接专题15 集合的概念（学生版）

专题15集合的概念学习目标1、通过实例，了解集合的含义2、理解元素与集合的“属于”关系3、针对具体问题，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合.知识精讲高中必备知识点1：集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]　集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．高中必备知识点2：元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A[知识点拨]　符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．高中必备知识点3：集合的表示法 (1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．典例剖析高中必会题型1：集合与元素的含义1．下列各对象的全体，可以构成集合的是___（填序号）①高一数学课本中的难题；②与1非常接近的全体实数；②高一年级视力比较好的同学；④高一年级中身高超过1.70米的同学2．集合中元素的三大特征是________．3．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.（______）（2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.（______）（3）由－1，1，1组成的集合中有3个元素.（______）4．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).（1）某校在校的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）帅哥；（4）平面直角坐标系内第一象限的一些点；（5）的近似值的全体. 5．下列说法中能构成集合的是________(填序号)．①参加江苏高考的所有学生；②江苏高考数学试题中的所有难题；③美丽的花；④与无理数无限接近的数．高中必会题型2：元素与集合的关系1．用符号“”或“”填空（1）______，______，______（2）___________Q（3）________2．给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合为闭集合.其中正确的是_________.（填序号）3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.5．用适当的符号填空：_____；0_____；______；______高中必会题型3：集合中元素特性的简单应用1．已知，求实数的值.2．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1∉A， （1）若3∈A，求A.（2）证明:若a∈A，则.3．已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.（1）若-3是集合A中的元素，试求实数a的值；（2）-5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.4．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．5．已知，求的值．高中必会题型4：列举法表示集合1．用列举法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）；（3）．2．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；(3)方程组的解组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N.3．用列举法表示下列集合（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合（2）方程的所有实数解组成的集合4．用列举法表示方程的解集为______________. 5．已知P＝{a,b}，又P的所有子集组成集合Q，用列举法表示Q，则Q＝_________.高中必会题型5：描述法表示集合1．用描述法表示下列集合：（1）抛物线y＝x2﹣2x+2的点组成的集合；（2）使有意义的实数x的集合．2．用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．3．用描述法表示下列集合（1）小于10的所有有理数组成集合；（2）所有奇数组成集合；（3）平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.4．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．5．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．高中必会题型6：集合表示的综合问题1．（1）用描述法表示下图中阴影部分(含边界)的点构成的集合；（2）用列举法表示集合A＝{x∈N|∈N}. 2．把下列集合用另一种方法表示出来：（1）；（2）；3．若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.4．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．（1）试用列举法表示集合且；（2）试用列举法表示集合且．5．用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．对点精练1．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（）A．0B．2019C．1D．0或20192．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2; ④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．，对任意的，总有（）A．B．C．D．4．若集合，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．5．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(　　)A．1B．2C．3D．46．现有以下说法，其中正确的是①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④7．下列集合中不同于另外三个集合的是（）A．{x|x＝1}B．{x|x﹣1＝0}C．{x＝1}D．{1}8．下列说法中正确的是（）A．班上爱好足球的同学，可以组成集合B．方程x（x﹣2）2＝0的解集是{2，0，2}C．集合{1，2，3，4}是有限集D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合9．设，集合，则等于（）A．B．1C．D．210．已知集合，，则a与集合A的关系是（） A．B．C．D．11．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（）A．3B．2C．1D．412．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　)A．-1B．1C．0D．±113．，，，中共有__个元素．14．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a=________.15．用列举法表示集合：______.16．设a，，若集合，则_______.17．用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.18．求数集中的元素应满足的条件.19．已知1∈{x|x2+px﹣3＝0}，求p的值与集合中的所有元素.20．已知集合.（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围21．下列三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？22．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．