初升高数学全体系衔接专题08相似形（学生版）

专题08相似形专题综述课程要求利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：（1）首先观察欲证平行线截哪个三角形；（2）再观察它们截这个三角形的哪两边；（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可，当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其他相等线段）的比作为中间比.常用的有用结论包括：1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.推论（1）平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（2）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（3）三角形的两腰被一条直线所截的对应边成比例.那么这条直线平行于底边.3.三角形的内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边的长度比等于对应夹角两边的长度比.课程要求《初中课程要求》①了解比例的性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比.③理解“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”④了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方⑤了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似.⑥会用图形的相似解决一些简单的实际问题. 《高中课程要求》相似是高中数学的一个重要工具，要求学生们在解题过程中能灵活应用相似的知识，很多时候相似是一个相当重要的工具，但是不会单独考查相似的证明知识精讲高中必备知识点1：平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，，另作直线交于点，不难发现我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.高中必备知识点2：平行线分线段成比例定理的推论推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 在中，为的平分线，求证：.证明过C作CE//AD，交BA延长线于E，AD平分由知.上述试题的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.高中必备知识点3：射影定理我们把下面试题的结论称为射影定理：如图,在直角三角形ABC中，为直角，.求证：（1），；（2）证明（1）在与中，，∽， 同理可证得.（2）在与中，，∽，典例剖析高中必备知识点1：平行线分线段成比例定理【典型例题】已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD；（2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝　　°时，AB∥CD；（3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD；（4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．【变式训练】已知，如图，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，求证：FE平分∠BED.【能力提升】 如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．高中必备知识点2：平行线分线段成比例定理的推论【典型例题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．求证：．证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．∴．①AD是角平分线，∴．．．②又，．③．（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD 的长；（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．【变式训练】如图，PB和PC是△ABC的两条外角平分线。①求证：∠BPC=90°-∠BAC．②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？【能力提升】在直角三角形△ABC中，∠ACB=90∘,∠BAC的角平分线交BC于D，CE⊥AB于点E,交AD于点F,取BG=CD,连接FG.求证：⑴BD=CG;⑵FG∥AB. 高中必备知识点3：射影定理【典型例题】如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，O是△ABC内部的一个动点，△OBD是等腰直角三角形，OB＝BD．（1）求证：∠AOB＝∠CDB；（2）若△COD是等腰三角形，∠AOC＝140°，求∠AOB的度数．【变式训练】如图所示，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上，若，求的值．【能力提升】如图，AD⊥BC，垂足为D．如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，(1)求出AC、AB的长度；(2)△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．对点精练 1．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为（）A．3B．3C．3D．42．如图，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，连接FB，交DE于点P，给出以下结论：①CN＝FN＋CD；②∠ADC＝∠ABF；③四边形CBFN为矩形；④∠AFB＋∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP·BC，其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．53．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　）A．5B．C．5或D．64．如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与相交于点，则的值为（） A．B．C．D．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E是BC的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，下列结论：①AE⊥BD；②；③；④．则正确的有（）个A．1B．2C．3D．46．如图，已知平行四边形中，为上任意一点（可以与重合），延长到，使得，以为边作平行四边形，则长度的最小值为（）A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则DE的长度为（） A．B．C．3D．8．如图，矩形纸片中，，．点E、G分别在，上，将、分别沿、翻折，点A的对称点为点F，点D的对称点为点H，当E、F、H、C四点在同一直线上时，连接，则线段长为（）A．B．C．D．9．如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、对角线交于点，现有以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（　　）A．4B．3C．2D．110．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（） A．1B．2C．3D．411．如图，在中，，，，过B作，过作，得阴影；再过作，过作，得阴影；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为_____．12．如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1BC，D2E2BC，D2E3BC；…，D2021E2021BC，则＝__．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6．则点C的坐标为__．14．如图所示，在中，，对角线，交于点，点在的延长线上，且．连接交于点，则______． 15．如图，矩形中，，，为中点，连接、交于点，连接，则的长为______．16．如图，在中，．点D为边上一点，将沿翻折得到交于点E．已知平分，则________．17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），若，则折叠后重叠部分的面积为_____． 18．如图，四边形中，，．点在边上，，，，点在射线上，连接，当直线与直线的夹角等于45°时，线段的长为______．19．如图，正方形中，，分别在，上，，分别交于，，连接，且知.下列结论：①；②；③；④.其中，一定正确的有__________（填序号）.20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为__． 21．如图，是的直径，点在上，于点，平分．（1）求证：是的切线：（2）若，，直接写出的半径的长．22．四边形是正方形，点在射线上，以点，点为顶点作正方形（点，，，按顺时针方向排列），连接，．（1）如图1，点在线段上，求证：；（2）如图2，点在线段上，连接．①求证：；②直接写出线段，，之间的关系：（3）当，以点，，，，为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BC=5，AC=12，求BD长． 24．在坐标平面内，△ABC的顶点位置如图所示．（1）将△ABC作平移交换（x，y）→（x+2，y﹣3）得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．（2）以点O为位似中心缩小△ABC得到△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为1：2，且点A与其对应点A2位于点O的两侧，画出△A2B2C2．25．如图，∠CAE＝∠BAD，∠E＝∠C．（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？（2）如果AB＝3AD，S△ABC＝9，那么△ADE的面积为多少？26．如图1，分别以的、为斜边间外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，点是的中点，连接、． （1）求证：；（2）如图2，若，，，求的正切值；（3）如图3，以的边为斜边问外作等腰直角三角形，连接，试探究线段、的关系，并加以证明．27．已知函数和的图象在第一象限内的交点为A，且函数的图象分别与x轴正半轴交于点B，C．（1）求点A的坐标；（2）若，①求证：；②函数图象的顶点分别为M，N，设的外心为点P，的内心为点Q．问是否存在m，n的值，使得O，P，Q三点共线？若存在，求m，n的值；若不存在，说明理由．28．（1）问题探究：如图1，△ABC，△ADE均为等边三角形，连接BD、CE，试探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由．（2）类比延伸如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，连接BD，CE，试确定BD与CE的数量关系，并说明理由．（3）拓展迁移如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若将线段DA绕点D按逆时针方向旋转90°得到DA′，连接BA′，求线段BA′的长．29．如图，在矩形中，，点是边上一点（点不和点、点重合）联结 ，过点作的垂线交于点，交对角线于点．设，（1）当时，求的值；（2）用含的代数式表示的值；（3）在点运动的过程中，能否与相似，如能，请求出此时之长，不能请说明理由．30．如图，中，是斜边的中线．（1）尺规作图：画出以为直径的，与交于点，与交于点；（2）若；，求的长：（3）连接，交于点，若，求的值．