初升高数学全体系衔接专题03一元二次方程（学生版）

专题03一元二次方程专题综述课程要求1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.课程要求《初中课程要求》能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理《高中课程要求》熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题知识精讲高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，则有；．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．典例剖析高中必备知识点1：根的判别式【典型例题】关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-1=0，其根的判别式为16，求m的值． 【变式训练】已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0(1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1，求m的值．【能力提升】方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac=．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）【典型例题】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．【变式训练】求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2（x1＞x2），并求x12+2x2的值．【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．对点精练1．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（　　）A．﹣1B．2C．25D．42．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，﹣2）．下列结论：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a﹣b＜2；④a＜﹣1．其中正确结论的个数为（　　）A．4B．3C．2D．14．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（）A．741B．600C．465D．3005．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（）A．0B．C．D．17．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．且D．且 8．已知、是关于的一元二次方程的两个根，且满足，，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有（　　）A．5个B．6个C．7个D．8个10．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（）A．或B．C．D．11．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为________．12．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cos∠AED＝，则BN的长为_____．13．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四边形面积＝2+，其中正确的序号是_____．14．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有：_____．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点； ②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：；③当且时，y的最小值为；④当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：．15．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．16．关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是______．17．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．18．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．19．若，且，，则（1）的值为______；（2）的值为_____．20．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．21．已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴；（2）过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N（不妨设点M在点N的左侧）．①当时，求线段的长； ②当时，若，求a的值；③当时，若，直接写出a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．23．在二次函数的复习课中，关于x的二次函数（），师生共同探讨得到以下4条结论：（1）这个二次函数与x轴必有2个交点；（2）二次函数的图象向左平移2个单位后经过点，则；（3）当时，y随x的增大而减小；（4）当时，，则，；请判断上述结论是否正确，并说明理由．24．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求 的值．25．阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a，b，若，则．完成问题：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若实数m，n满足．求的最大值．26．已知关于的方程有两个实数根、．（1）求的取值范围（2）若、满足等式，求的值．27．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．28．已知关于x的方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．29．解方程（1）（2）（3）解方程： 30．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；（3）如果实数a，b满足b＝+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．