初升高数学全体系衔接专题03一元二次方程（教师版）

专题03一元二次方程专题综述课程要求1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.课程要求《初中课程要求》能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理《高中课程要求》熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题知识精讲高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边,一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，则有；．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．典例剖析高中必备知识点1：根的判别式【典型例题】关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-1=0，其根的判别式为16，求m的值．【答案】m1=11，m2=-1．【解析】,由题意得，△=[-(m-1)]2-4(2m-1)=16，整理得，m2-10m-11=0，解得：m1=11，m2=-1．【变式训练】已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0(1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1，求m的值．【答案】(1)m=23；即原方程的另一根是1；(2)m=1，m=3．【解析】（1）设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方程的解，∴9m﹣（m+2）×3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac=．【答案】105【解析】先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．,高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）【典型例题】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时，b＝﹣3，c＝2；当方程根为2，4时b＝﹣6，c＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴x2＝2x1，∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；（2）∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．【变式训练】求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2（x1＞x2），并求x12+2x2的值．【答案】6【解析】方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，，∴,【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．【答案】(1)m≥﹣34；(2)m的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣34；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1)知m≥﹣34，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．对点精练1．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（　　）A．﹣1B．2C．25D．4【答案】D解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，∵AB＝4，∴|x1﹣x2|＝4，,∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，∴4n＝16，∴n＝4，故选：D．2．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根【答案】B解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6)＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，﹣2）．下列结论：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a﹣b＜2；④a＜﹣1．其中正确结论的个数为（　　）A．4B．3C．2D．1【答案】C解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），可知该抛物线开口向下即a＜0，c＝﹣2，①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；∵c＝﹣2，∴4a+2b＜2，∴2a+b＜1，,故结论①错误；②∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜x1+x2＜3，又∵x1+x2＝，∴1＜＜3，∴3a+b＜0，故结论②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∵c＝﹣2，∴a﹣b＜﹣c，即a﹣b＜2，故结论③正确；④∵0＜x1x2＜2，x1x2＝＜2，又∵c＝﹣2，∴a＜﹣1．故结论④正确．故选：C．4．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（）,A．741B．600C．465D．300【答案】B解：通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，其中n为正整数，∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），，当n（n＋1）=600时，解得：（舍），当n（n＋1）=465时，解得：（舍），，当n（n＋1）=300时，解得：（舍），，故选：B．5．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（）,A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴负半轴∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，所以①正确；②当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于还是小于0，所以②错误；③设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），∵OC＝2OB，∴﹣2x2＝c，∴，∴B（，0）将点B坐标代入y＝ax2+bx+c中，，∵∴所以③正确；④当y＝0时，ax2+bx+c＝0，方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系，得，即所以④正确．故选：C．6．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（）A．0B．C．D．1,【答案】D解：由题意得：，即，方程有两个相等的实数根，此方程根的判别式，解得，故选：D．7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．且D．且【答案】D解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×（-1）＞0，解得k＞-1且k≠0．故选：D．8．已知、是关于的一元二次方程的两个根，且满足，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D一元二次方程的两个根，所以△=，∴或，令y=，∵，抛物线开口向上，且满足，，∴，∴，,解得，∴，∴，解得，∴的取值范围是．故选择D．9．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有（　　）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】B解：∵关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等实数根，∴△＝52﹣4×1×m＞0，解得：m＜，∵m为正整数，∴m＝1，2，3，4，5，6，∴符合条件的m有6个，故选：B.10．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（）A．或B．C．D．【答案】C解：根据题意得△＝＞0，解得m＞−，根据根与系数的关系的，，,∵，∴，∴，整理得，解得，，∵m＞−，∴m的值为．故选：C．11．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为________．【答案】6如图，过点O作OM⊥AB，垂足为M，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OB，DA⊥AB，AD=BC，∵OM⊥AB，∴OM∥AB，AM=BM，∴OM=，结合图像知，当运动到点B是三角形的面积最大，,∴即AD×AB=24，当点P运动到点C时，面积为0即AB+BC=10，∴AD+AB=10，∴AB，AD是方程的两个根，解得x=4或x=6，∵，∴AB=6，故答案为：6．12．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cos∠AED＝，则BN的长为_____．【答案】5或解：根据题意可分两种情况画图：①如图1，取AD的中点G，连接MG，∴AG＝DG＝AD＝2，∵点M为正方形ABCD的边BC中点，∴MG⊥AD，MG＝AB＝AD，∴∠MGN＝∠A＝90°，在Rt△ADE和Rt△GMN中，，∴Rt△ADE≌Rt△GMN（HL），,∴∠GNM＝∠AED，∴cos∠GMN＝cos∠AED＝，∴设GN＝x，MN＝17x，∵，∴，∴x＝，x＝－（舍去），∴GN＝1，∴AN＝1，∴BN＝＝；②如图2，取AD的中点G，同理可得Rt△ADE≌Rt△GMN（HL），∴∠GNM＝∠AED，∴cos∠GMN＝cos∠AED＝＝，∴设GN＝x，MN＝17x，∵，∴，,∴x＝，x＝－（舍去），∴GN＝1，∴AN＝3，∴BN＝＝5，故答案为：5或．13．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四边形面积＝2+，其中正确的序号是_____．【答案】②③④∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF＝EF＝2，∠EAF＝60°，∴∴△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝15°，∴∠AEB＝90°-∠BAE＝75°，即③正确∵CB＝CD，∴CB﹣BE＝CD-DF，∴CE＝CF，即②正确；,∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF＝EF＝设正方形的边长为：x，则BE＝x-，Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，∴解得：x1＝，x2＝（舍去），∴BE+DF＝2（x-）＝2（-）＝-≠2，即①错误；四边形面积＝x2＝＝，即④正确．故答案为：②③④．14．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有：_____．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：；③当且时，y的最小值为；④当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：．【答案】②③④解：①y=（m-2）x2+2mx+m-3=m（x+1）2-2x2-3，当x=-1时，y=-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①错误；②若该函数图象开口向下，则m-2＜0，且△＞0，△=b2-4ac=20m-24＞0，解得：m＞，且m＜2，故m的取值范围为：＜m＜2，故②正确；,③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当0≤x≤2时，y的最小值在x=0处取得，故y的最小值为：（m-2）×0+2m×0+m-3=m-3，故③正确；④当m＞2，x=-4时，y=9m-35，x=-3时，y=4m-21，x=0时，y=m-3，当x=-1时，y=-5，当-4＜x1＜-3时，则（9m-35）（4m-21）＜0，解得：；同理-1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：，故④正确；故答案为：②③④．15．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．【答案】；；解：∵∴∴∴∴∴∵，为有理数，∴，也为有理数，故当时候，只有，，∴，，,故答案是：，；16．关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是______．【答案】16或∵方程有两个相等的实数根，∴，∴sinA=，sinA=-（舍去），∵方程有两个根，∴，∴，∵，∴m-2=0，∴方程有两个相等的实数根，∴，当∠A为等腰三角形的顶角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1:∵AB=AC=5，sinA=，∴BD=ABsinA==4，AD==3，∴DC=2，,∴BC==，∴的周长是10+；当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:∵AB=BC=5，sinA=，∴BE=ABsinA==4，AE==3，∴AE=CE=3，∴AC=6，∴的周长是10+6=16；故答案为：16或10+．17．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．【答案】8或解：当a＝b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，∴a+b＝8±2；当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8．故答案为8或8±2．18．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．,【答案】5解：由题意可得：∴∴∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根∴∴∴α2＋2β=5故答案是：519．若，且，，则（1）的值为______；（2）的值为_____．【答案】41（1）∵，且，，∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴a+b=4,故答案为：4；利用根与系数关系定理求解即可；（2）∵，，∴，，∴=，∵，且，，∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴a+b=4,ab=1，∴==1，故答案为：1．,20．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．【答案】有两个不相等的实数根解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．21．已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴；（2）过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N（不妨设点M在点N的左侧）．①当时，求线段的长；②当时，若，求a的值；③当时，若，直接写出a的取值范围．【答案】（1）；（2）①2；②；③或解：（1）抛物线的对称轴为；,（2）过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N，设，①当时，则、是的两个根，∵a≠0，∴，∴；==2；②当时，、是的两个根，∵a≠0，∴，∵，∴，即，∴，∴解得，经检验是原方程的根，当时，方程的判别式，符合题意，∴；③当时，、是的两个根，∵a≠0，∴，，∴，即，解得或，∵，,∴，若（M、N都不在y轴左侧），则总成立，∴，∴或，∴或，∵或，∴或；若（M在y轴左侧，N不在y轴左侧），，解得，∴，∴变形为，∴在y轴上，故舍去；若（M、N都在y轴左侧），∵，∴，这与、是的两个根，矛盾，这种情况不存在；综上所述，，则或．22．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．,（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）；（2）是，30°；（3）点Q的坐标为（2+4，0）或（2﹣4，0）或（﹣2，0）或（，0）解：（1）如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，∵点P在y＝x的图象上，∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°∵A（0，2）∴AH＝AO•sin60°＝∴AP≥（2）①当点P在第三象限时，如图2，,由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠PAQ＝∠POQ＝30°②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°∴Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ＝∠POQ＝30°（3）当△OPQ为等腰三角形时，若点Q在x轴的正半轴上，设OQ＝m（m＞0），则AQ2＝m2+22＝（2PQ）2，∴PQ2＝，过点Q作QN⊥OP于点N，如图：,∵∠POQ＝30°，∴NQ＝OQ＝m，，在Rt△PQN中，，∴∴①OP＝OQ时，则m2解得m＝2±4（负值不符合题意，舍去）∴m＝2+4②当PO＝PQ时，则解得：m＝0或m＝﹣2，都不符合题意；③当QO＝QP时，则,解得：m＝（负值不符合题意，舍去）∴m＝若点Q在x轴的负半轴上，则OQ＝﹣m，同理可得：m＝2﹣4或m＝∴综上所述：点Q的坐标为（2+4，0）或（2﹣4，0）或（﹣2，0）或（，0）．23．在二次函数的复习课中，关于x的二次函数（），师生共同探讨得到以下4条结论：（1）这个二次函数与x轴必有2个交点；（2）二次函数的图象向左平移2个单位后经过点，则；（3）当时，y随x的增大而减小；（4）当时，，则，；请判断上述结论是否正确，并说明理由．【答案】（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．解：（1）∵∴△=故时，△=0，方程只有一个根即此时抛物线与x轴只有一个交点，故（1）说法错误；（2）抛物线的解析式为：向左平移2个单位后的解析式为，即,把（-1，0）代入上式中得即，解得，由于，故此说法正确；（3）∵∴，∴二次函数的对称轴：又∵∴二次函数的对称轴且二次函数开口向上∴二次函数在对称轴左边递减，∴当，y随x的增大而减小，此说法正确；（4）∵∴∴即当，∵时，若，即时函数有最小值即又∵∴,故当时，，则，这种说法不正确；综上所述：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．24．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．【答案】（1）见解析；（2）解：（1）证明：设方程的两根是，，则，，，，，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2），对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，,．25．阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a，b，若，则．完成问题：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若实数m，n满足．求的最大值．【答案】（1）-5；（2）（3）解：（1），因为，所以，所以，当时，原式的最小值为-5．（2），当取最小值时，原式最大，由（1）可知，最小值为2，此时的最大值为；,（3）∵，∴，，或，或，=，最大值是，的最大值为；或=，最大值是，的最大值为；综上，的最大值为26．已知关于的方程有两个实数根、．（1）求的取值范围（2）若、满足等式，求的值．【答案】（1）且；（2）-1．解：（1）∵关于的方程有两个实数根、∴，解得：且（2）由题意可得：，由（1）可得，∴∴，,∴解得：（不合题意舍去），∴k的值为-1．27．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）；（2）此题答案不唯一，，，解：（1）∵关于x的一元二次方程一般式为，∴，∵方程有两个不相等的实数根，．，；（2）此题答案不唯一．如，∴一元二次方程为，因式分解得，，．∴当时，方程的根为，．28．已知关于x的方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【答案】（1）且；（2）解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，∴且．,．∴且．∴且．（2）当k取最大整数时，，此时，方程为，解得．∴当时，方程的根为．29．解方程（1）（2）（3）解方程：【答案】（1）；（2），；（3）无解解（1）移项，合并同类项得：因式分解得：所以（2），，所以此方程有两个不相等的实数根，，（3）方程两边乘得：,去括号得：解一元一次方程得：检验：当时，所以，是增根，原方程无解．30．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；（3）如果实数a，b满足b＝+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．【答案】（1）a≥0且a≠6；（2）a＝7，8，9，12；（3）1100解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，∴，解得：a≥0且a≠6.（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝﹣++1＝为负整数，∴6﹣a＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，∴a＝7，8，9，12.（3）∵b＝，∴a＝5，b＝50，∴方程﹣x2+10x+5＝0，∴x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，∴原式＝x12•x1+10x22+5x2﹣b，＝（10x1+5）•x1+10x22+5x2﹣50，,＝10（x12+x22）+5（x1+x2）﹣50，＝10（x1+x2）2﹣20x1x2+5（x1+x2）﹣50，＝10×102﹣20×（﹣5）+5×10﹣50，＝1100．