初升高数学全体系衔接专题09三角形（学生版）

专题09三角形专题综述课程要求三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.1.四心的地位所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它们的几何特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.2.四心的概念与常用性质内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等；垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，以形助数，以数解形.课程要求《初中课程要求》1、三角形及其性质2、全等三角形3、相似三角形4、直角三角形《高中课程要求》1、三角变换与解三角形的综合问题2、解三角形与平面向量结合 3、以平面图形为背景的解三角形问题知识精讲高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.高中必备知识点2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.典例剖析 高中必备知识点1：三角形的“四心”【典型例题】如图，在⊙O中，AB是的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA，（1）求证PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM+1DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。【能力提升】 定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分别为点D、E，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD＝12AB，求∠APB的度数．（2）探究：如图3，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准内心P在AC边上（不与点A、C重合），求PA的长．高中必备知识点2：几种特殊的三角形【典型例题】问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．【变式训练】如图，两条射线BA//CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D． （1）求∠BPC的度数；（2）若，求AB+CD的值；（3）若为a，为b，为c，求证：a+b=c．【能力提升】如图，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．(1)求证：△BFG∽△FEG(2)求sin∠FBG的值．对点精练1．如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（）． A．B．C．D．2．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（）A．B．C．D．3．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．③④D．①②③④4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH． A．①②③④B．①②③C．②④D．①③5．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（）A．12B．13C．14D．156．已知、、4分别是等腰三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（）A．6B．7C．-7或6D．6或77．如图，在锐角ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．1C．D．8．如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则的度数为（）A．B．C．D．9．如图，在中，，平分，于E，则下列结论中，不正确的是（）A．平分B．C．平分D． 10．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（）A．海里B．海里C．40海里D．海里11．如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，当的长为______时，是直角三角形．12．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作过点轴交直线和直线于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_____．（用含正整数的代数式表示） 13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上．若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为，则可表示为____．14．如图，四边形ABCD中，ADBC，连接AC，AC⊥BC，∠BAD＝135°，E为AC上一点，连接BE，∠BEC＝2∠ACD，AD＝2，CE＝3，则线段BE＝__．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），直线A1C1分别交AB，AC于点G，H．当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为_____．16．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________． 17．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC______S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．18．如图，____________．19．如图，在中，，，，平分，，则的长是__________．20．如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=，则CD的长为_______． 21．如图1，在中，，，点是的中点，连接，点是上一点，连接并延长交于点．（1）若点是中点，求证：；（2）如图2，若．①求证：；②猜想的值并写出计算过程．22．如图，边长为1的正方形中，点在上，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，，点是正方形的中心，连接，．（1）求证：；（2）请判断的形状，并说明理由；（3）若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积为，求关于的函数关系式（写出的范围）；若点在射线上运动，且的面积为，请直接写出长．23．如图，在正方形中，动点，分别在边，上移动（不与顶点重合），且满足．连接和，交于点． （1）请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）由于点，的移动，使得点也随之运动．①请用文字描述并且在图中画出点的运动路径；②若，请求出线段的最小值．24．在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，点坐标为，，点在轴上（点在点的右侧），，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒（）．（1）如图，当点在线段上时．①求点的坐标：②当是等腰三角形时，求的值；（2）是否存在时刻，使得，若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．25．如图，在中，点D，E分别在边，上，且，点P与点C关于直线成轴对称． （1）求作点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）连接EP，若，判断点P是否在直线上，并说明理由．26．如图，在矩形中，点是边上一点，．（1）过作于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；（2）求证：．27．如图，中，，，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，过作于点，连接． （1）求证：；（2）求的最小值；（3）若，求的值．28．如图，，直线过点，直线，直线，垂足分别为、，且．（1）求证；（2）求证．29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．30．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则周长为__________．