初升高数学全体系衔接专题11代数部分验收卷（教师版）

专题11代数部分验收卷1．算式值的个位数字为（）A．1B．3C．5D．7【答案】B解：设m=，则2m=，∴2m-m=-∴m=-=-1∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，根据上述算式发现规律：每四个数字为一组，个位数字分别为2、4、8、6循环，∵2022÷4=505…2，∴22022的个位数字是4．∴-1的个位数字是3．故选：B．2．已知满足，则的值为（）A．－4B．－5C．－6D．－7【答案】A解：∵，∴，∴∴，∴，，， ∴，，，，故选：A．3．已知为实数，且满足，当为整数时，的值为（）A．或B．或1C．或1D．或【答案】C解：；设，则，∴，∵为整数，，∴t为0或1，当时，；当时，；∴的值为1或．故选：C4．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（）A．B．C．D．【答案】C解：，由①得x≤6，由②得x＞．∵方程组有且只有五个整数解， ∴＜x≤6，即x可取6、5、4、3、2．∵x要取到2，且取不到，∴1≤＜2，∴4≤a＜10．解关于的分式方程，得y=，∵分式方程的解为非负整数，∴≥0，∴a≤8，且a是2的整数倍．又∵y≠2，∴a≠4．∴a的取值为6、8．故选：C．5．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（）元．A．288B．306C．288或316D．288或306【答案】C解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此 可以按照8折付款：360×0.8=288元或395×0.8=316元，故选：C．6．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（）A．1支笔，4本本子B．2支笔，3本本子C．3支笔，2本本子D．4支笔，1本本子【答案】A解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得，当x=1时，原方程组为，解得，符合题意；当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；故选：A．7．已知点均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B∵∴∴点M(m，y3)是该抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为x=m，∵点P(-2，y1)，Q(4，y2)均在抛物线上，且∴解得m>1，故选：B．8．如图，抛物线与轴正半轴交于，两点，其中点的坐标为，抛物线与轴负半轴交于点，有下列结论：①；②；③若与是抛物线上两点，则；④若，则其中，正确的结论是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【答案】C解：（1）∵抛物线的开口向下，∴a<0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0．∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴．∴b＞0．∴abc>0．∴①正确； （2）∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴的正半轴，∴对称轴在直线x=2的右侧．∴．∴，即．又∵a＜0，∴．∴②错误；（3）∵和是抛物线上的两点，且0<1<2，∴抛物线在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小．∴不一定成立．∴③错误；（4）∵，B（4，0），∴点A的横坐标大于0且小于或等于1．∴当x=1时，有；当x=4时，有．∴，代入，得，．整理得，．∴．又∵c<0，∴-2c>0．∴．∴④正确．故选：C．9．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，点在该抛物线位于y轴左侧的图象上．记的面积为S，若，，则下列结论正确的是（　　）A．B．C．D． 【答案】D由题意画出所示图象，因为函数的二次项系数为1>0，b>0,根据系数ab同号，可以得出对称轴在y轴左边，根据二次函数的顶点坐标，可知图像顶点在第四象限．由于点A在y轴的左侧，∴m＜0，A选项错误；∵，∴＜2b，∴﹣2b＜m，∵∠AOC＞45°，作直线y＝x交抛物线y＝x2+bx﹣b于点B（，），x1＜0，代入抛物线得，∴＝+b﹣b，∴2+（b﹣1）﹣b＝0，∴△＝（b﹣1）2+4b＝（b+1）2，∴，若∠AOC＞45°，则点A在点B的左侧，∴n＞，n＞﹣b，∴m＜，m＜﹣b，即﹣2b＜m＜﹣b， ∴B选项错误；当﹣2b＜m时，在（﹣2b，﹣b）内递减，∴n＜（﹣2b）2+b•（﹣2b）﹣b，即n＜2b2﹣b，∴﹣b＜n＜2b2﹣b，∴C选项错误，D选项正确．故选：D．10．若直线与轴的交点位于轴正半轴上，则它与直线交点的横坐标的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C解：直线与轴的交点位于轴正半轴上，．令，解得：，即，得．①当时，解得，与题设矛盾；②当时，解得，所以．当直线与直线相交时，，解得：，即，又，，，，， ，．故选：．11．如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与的图象相交于，两点，连接，，现有以下4个结论：①；②不等式的解集是；③；④．其中正确结论的序号是________．（填上你认为正确的所有结论的序号）【答案】①③④解：①如图所示，直线y=kx1+b（k1≠0）经过第一、三象限，则k1＞0．双曲线经过第一、三象限，则k2＞0．所以k1k2＞0．故结论①正确；②如图所示：不等式的解集是x1＜x＜0或x＞x2；故结论②不正确；③把，的坐标代入得，∴， 把，的坐标代入，得，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故结论③正确；④把，的坐标代入得，，解得，∴直线解析式为，∴点，，把，的坐标代入，得，∴，∴ ∴，∴．故结论④正确．故答案为：①③④．12．如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）．（1）当的面积最大时，的大小为______．（2）等边的边长为______．【答案】过F作，交BC的延长线于D，如图：为等边三角形，为等边三角形，，，，，≌，，，，，， ，设等边边长是a，则，，当时，有最大值为，(1)当的面积最大时，，即E是BC的中点，，，，，故答案为：；（2）当时，有最大值为，由图可知最大值是，，解得或边长，舍去，等边的边长为，故答案为：．13．在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．（2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__．【答案】或2解：(1)把（0，0）代入抛物线得，，解得，，；故答案为：或2 (2)由解析式可知抛物线的对称轴是直线；把点代入解析式得，，解得，，；当时，抛物线与线段刚好有两个交点和，当时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是；把点代入解析式得，，解得，，；当时，抛物线与线段刚好有两个交点和，当时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是；故答案为：14．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则第4个正方形的边长及S3的值分别为___．【答案】解:正比例函数y=x的图象与x轴交角的正切值为，已知A的坐标为(27,9)，∴第4个正方形的边长是=第三个正方形的边长为9，第二个正方形的边长为6，第一个正方形的边长为4，第五个正方形的边长为由图可知： 故答案为：15．我校学生社团开展以来全校师生积极参与，为了了解同学们参与的意向，卢老师在全年级进行了随机抽样调查（被抽到的同学都填了意向表，且只选择了一个意向社团），统计后发现共、、、四个社团榜上有名．其中选的人数比选的少6人；选的人数是选的人数的整数倍；选与选的人数之和是选与选的人数之和的9倍；选与选的人数之和比选与选的人数之和多56人．则本次参加调查问卷的学生有______人．【答案】80解：设选D的人为x,则选C的(x-6)人,设选A的为ax人，则选B的为y人③-②得：把代入①得a=5.43（舍去，非整数）把代入②得a=7把代入①得a=12.5（舍去，非整数）∴x=9，y=5，a=7∴∴总人数为：故答案为：8016．如图，中，，，点为动点，连接、，始终保持为，线段、相交于点，则的最大值为__________． 【答案】解：由题意，设，则，，在和中，，，，即，解得，则，令，则，整理得：，关于的一元二次方程有实数根，方程根的判别式，即，令，解得，由二次函数的性质可知，当时，，则的最大值为，即的最大值为， 故答案为：．17．已知，矩形中，，点F在边上，且，点E是边上的一个点，连接，作线段的垂直平分线，分别交边，于点H、G，连接，．当点E和点C重合时（如图1），_________；当点B，M，D三点共线时（如图2），_________．【答案】；．解：①∵是线段的垂直平分线，∴FH=CH，设DH=m，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=9，CD=AB=6，∠A=∠D=90°，由勾股定理可得FH2=FA2+AH2，CH2=HD2+DC2，∴22+（9-m）2=m2+62，解得m=，故答案为：；②过M作MN⊥BE于N，连结BD，FG，设HD=m，EC=n，BG=x，点B，M，D三点共线，∵FM=ME，MN∥FB，∴NB=NE，NM=，又∵MN∥CD，∴∠BMN=∠BDC，∠MNB=∠C， ∴△BMN∽△BDC，∴，∴，∴∵HD∥BG，∴∠DHM=∠BGM，∠HDM=∠GBM，∴△HDM∽△GBM，∴，∴，在Rt△BFG中，FG=9-BG-EC=BG2+FB2=FG2，即42+∴①由勾股定理HF2=AF2+AH2，HE2=62+（m-n）2∴22+（9-m）2=62+（m-n）2∴②①×2+②得因式分解得解得或（舍去）把代入②9+2（9m-3m）=49,解得m=．故答案为：． 18．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．【答案】①②①，则，即，∴，在实数范围内有解，故选项①正确；②，则，∴在实数范围内的解有两个，故选项②正确；③，整理得：，配方得：，开方得：或(舍去)，∴， ∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误；④当时，；当时，；当时，；故选项④错误；综上，①②正确，故答案为：①②．19．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：____________．（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=____________．（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则____________．【答案】52619解：（1）（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k＋1)，且，∴解得k=2，∴2(k＋1)=6，∴b=26．（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m＋n=100，设m=10x＋y，则n=10(9-x)＋(10-y)，∴ 20．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________．【答案】6．解：，把代入得，再把代入得；故答案为：6．21．已知数轴上的点A表示的数为2．动点B从点A出发在数轴上运动．（1）点B先向左9个单位，再向右5个单位，则终点B表示的数为_______，此时A、B两点间的距离为_______．（2）若点B先向左a个单位，再向右7个单位，此时A、B两点间的距离为5，求a的值．（3）若点B第1次向左3个单位，第2次向右6个单位，第3次向左9个单位，第4次向右12个单位…，依此规律，移动到第n次结束（n为偶数），则终点B表示的数是______．【答案】（1）-2，4；（2）2或12；（3）解：（1）点B先向左9个单位，再向右5个单位，则终点B表示的数为2-9+5=-2，此时A、B两点间的距离为2-（-2）=4；（2）由题意可得：移动后点B表示的数为：2-a+7=9-a，则此时A、B两点间的距离为，解得：a=2或a=12；（3）∵第1次向左3个单位，此时点B表示的数为2-3=-1，第2次同右6个单位，此时点B表示的数为-1+6=5，第3次向左9个单位，此时点B表示的数为5-9=-4， 第4次向右12个单位，此时点B表示的数为-4+12=8，...，∴第n次（n为偶数）向右3n个单位，则终点B表示的数是：2-3+6-9+12-...+3n=2+=．22．已知，在计算：的过程中，如果存在正整数，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为没有进位，没有进位；15和91都不是“本位数”，因为，个位产生进位，，十位产生进位．则根据上面给出的材料：（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”．106（　　）；111（　　）；400（　　）；2015（　　）．（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是　　，最小的“本位数”是　　．（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？【答案】（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）（个）．解：（1）有进位；没有进位；有进位；有进位；故答案为：×，√，×，×．（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000，故答案为：3332，1000．（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有（个）．23．在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（0，3），(2，0），顶点为M的抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，且与x轴交于点D，E（点D在点E的左侧）． （1）直接写出点B的坐标，抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）点P是（1）中抛物线对称轴上一动点，求△PAD的周长最小时点P的坐标；（3）平移抛物线y＝－x2＋bx＋c，使抛物线的顶点始终在直线AM上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段BM有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a的取值范围．【答案】（1）B（2，3），y＝－x2＋2x＋3，M（1，4）；（2）点P的坐标为（1，2）；（3）当抛物线与线段BM有公共点时，抛物线顶点的横坐标a的取值范围为≤a≤1或2≤a≤4．解：（1）∵点A，C的坐标分别为（0，3），(2，0），且四边形OABC是矩形，∴B(2，3)；把点A、B代入抛物线的解析式，则，解得；∴y＝－x2＋2x＋3，∴；∴点M为(1，4)；（2）在对称轴上取一点P，连接PA，PB，PD，由抛物线及矩形的轴对称性可知点A，B关于抛物线的对称轴对称，所以PA＝PB，因此当点P，B，D在一条直线上时△PAD的周长最小． 当－x2＋2x＋3＝0时，解得，x1＝－1，x3＝3∴点D(－1，0).设直线BD的解析式为yBD＝kx＋q，于是有y＝x＋1．当x＝1时，y＝2，∴点P的坐标为(1，2)．（3）由题意可得yAM＝x＋3，yBM＝－x＋5．∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点在直线yAM＝x＋3上∴可设平移中的抛物线的解析式为y＝－(x－a)2＋a＋3．当a＝1时，抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3即y＝－x2＋2x＋3，此时抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3与线段AB有两个交点当a＞1时，①当抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3经过点时，有－(1－a)2＋a＋3＝4，解得：a1＝1(舍去)，a2＝2．②当抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3经过点B(2，3)时，有－(2－a)2＋a＋3＝3，解得a1＝1(舍去)，a2＝4．综上得2≤a≤4；当a＜1且抛物线y＝－(x－a)2＋a＋3与直线yBA＝－x＋5有公共点时，则方程－(x－a)2＋a＋3＝－x＋5即x2－(2a＋1)＋a2－a＋2＝0有实数根，∴(2a＋1)2－4(a2－a＋2)≥0，即a≥．∴≤a＜1．综上可得≤a≤1或2≤a≤4时，平移后的抛物线与线段BA有公共点．24．阅读理解：对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字均为奇数，百位数字与个位数字均为偶数，则称这个四位数为“均衡数”．将一个“均衡数”的千位数字与十位数字组成一个新的两位数m，原来千位数字作为m的十位数字；将一个“均衡数”的百位数字与个位数字组成另一个新的两位数n，原来百位数字作为n 的十位数字．例如：“均衡数”3812，则．若各个数位上的数字都不为零且十位数字大于个位数字，则将m中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，n中的任意一个数字作为这个新的两位数的个位数字，按这个方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：时，．（1）3456_______（填“是”或“不是”）“均衡数”，最小的“均衡数”为_______；（2）若是一个完全平方数，请求出所有满足条件的“均衡数”．【答案】（1）是，1212；（2）1616，3812，5814，7622，7652解：（1）由“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，最小的“均衡数”为1212．故答案为：是，1212；（2）设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），F（m，n）=F（ab，xy）=10a+x+10a+y+10b+x+10b+y=2（10a+10b+x+y），∵0＜a，b，x，y＜9，∴0＜2（10a+10b+x+y）＜396，∵2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，∴满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，当2（10a+10b+x+y）=64时，a=1，b=1，x=6，y=6满足题意，当2（10a+10b+x+y）=100时，a=3，b=1，x=8，y=2满足题意，当2（10a+10b+x+y）=144时，a=5，b=1，x=8，y=4满足题意，当2（10a+10b+x+y）=196时，a=7，b=1，x=9，y=9不满足题意，当2（10a+10b+x+y）=256时，a=7，b=5，x=6，y=2满足题意，当2（10a+10b+x+y）=324时，没有解．故所有满足条件的“均衡数”为1616，3812，5814，7622，7652．25．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接． （1）求证：；（2）设点是抛物线上两点之间的动点，连接．在的条件下：①若，求点的坐标；②若，且的最大值为，直接写出的值．【答案】（1）见解析；（2）①点的坐标为或；②或解：（1）把A（-1，0）代入解析式，得-1-b+c=0即b=c-1．∵y=-+bx+c的对称轴为x=，A（-1，0），B（m，0）是对称点，∴，∴b=m-1，∴m-1=c-1，∴m=c，∵OB=m，OC=c，∴OB=OC；（2）①当m=3时，b=m-1=2，c=m=3，∴抛物线的解析式为y=-+2x+3，∴B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3；∵A（-1，0）， ∴AB=4，∴,∴，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC于点E，设直线BC的解析式为y=kx+t，根据题意，得，解得，∴直线BC的解析式为y=-x+3，∴点P的坐标（x，-+2x+3），点D的坐标（x，0），点E的坐标（x，-x+3），∴PE=（-+2x+3）-（-x+3）=-+3x，过点C作CF⊥PE，垂足为F，则，∴∴，解得x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）②∵抛物线y=-+2x+3=，∴当x=1时，函数y有最大值，且为4，当n≤1≤n+2时即-1≤n≤1时，函数有最大值4，故2n=4，解得n=2， 不符合题意，故n=2舍去；当1＜n≤x≤n+2时即取值范围在对称轴右边，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴当x=n时，函数有最大值，此时函数值为y=-+2n+3，∴-+2n+3=2n，解得n=或n=-（舍去）；当n≤x≤n+2＜1时即取值范围在对称轴左边，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∴当x=n+2时，函数有最大值，此时函数值为y=-+2（n+2）+3，∴-+2（n+2）+3，解得n=或n=（舍去）；∴n的值为或．26．如图1，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，是第一象限内二次函数图象上的动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）如图2．连接，交直线于点，当时，求的正切值．【答案】（1）；（2）；（3）．解：（1）将、代入函数表达式，得，解得，∴所求二次函数的表达式为；（2）∵以点、、为顶点的三角形与相似，如图所示:∴或，而，故或，设点的坐标为，则，故或，解得（不合题意的值已舍去），检验:把代入原方程的分母，分母不等于0，∴是原方程的根，故点的坐标为； （3）过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示:∴,∴，,∴,∴,∴,∵，，∴,∴,设，则，,∵，∴时，点,∴，, ∴，解得，∴．27．如图1，抛物线与轴交于、两点，点、分别位于原点左、右两侧，且，过点的直线交轴于点．（1）求、、的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点为线段上一点，连接，求的最小值．【答案】（1），；（2），，，；（3）解：（1）∵，∴A(-4，0)，B(2，0)， 把A(-4，0)，B(2，0)代入，得，解得：，∴直线AC的解析式为：，把A(-4，0)代入，得：，解得：，∴，；（2）∵A(-4，0)，C(0，)，∴，∵抛物线的对称轴为：直线，∴设P(-1，y)，则，，①当∠APC=90°时，则，∴+=24，解得：，∴，，②当∠PAC=90°时，则，∴+24=，解得：，∴，③当∠ACP=90°时，则，∴+24=，解得：，∴， 综上所述：，，，；（3）过点A作直线EF，交y轴于点E，使∠CAE=30°，过点O作ON⊥EF，交AC于点，此时，的最小值=N+O=ON，过点C作CH⊥EF于点H，∵OA=4，OC=，∴AC=，∴CH=，AH=×=，设HE=a，CE=b，∵∠CHE=∠AOE=90°，∠AEO=∠CEH，∴，∴，解得：∵ON∥CH，∴，∴，即：，解得：，∴的最小值为：． 28．如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点O和点A，截得的抛物线弓形的曲线上有一点P．（Ⅰ）当时，解答下列问题：①求A点的坐标；②连接，，求面积的最大值；③当的面积最大时，直线也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点，连接，，当的面积最大时，求这个的最大面积与②中 的最大面积的比值；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的条件去掉后，其它条件不变，则的最大面积与的最大面积的比值是否变化？请说明理由．【答案】（Ⅰ）①；②；③；（Ⅱ）不变，见解析；解：（Ⅰ）①当时，抛物线解析式为，解方程组，解得，∴；②设过点P与平行的直线为，由得，由，可得，∴，∴，此时面积最大值为．③由②直线的解析式，设与平行的直线为，由得，由，可得，∴面积最大值为，∴的面积与的面积的比．（Ⅱ）不变．理由：与直线交点为和，设过点P与平行的直线为， 由得，由，可得，∴，∴，此时面积最大值为．由，设与平行的直线为，由得，由，可得，∴面积最大值为，∴的面积与的面积的比．29．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段上，求的值；（3）如果点是抛物线位于第一象限上的点，联结，交线段于点，当时，求点的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）点 解：（1）与轴交于点，与轴交于点．，解得：，抛物线解析式为；（2），顶点坐标为，，与轴交于点，点，，，，点，设直线解析式为，，解得：，直线解析式为，当时，，；（3）如图，过点作于，过点作于， ，，，，，，，，，点，，点，，，，，，点．30．如图，抛物线：交轴正半轴于点，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，与交于点，直线交于点． （1）①抛物线的解析式为_______；②求点，的坐标．（2）是抛物线间的点，作轴交抛物线于点，连接，．设点的横坐标为，当为何值时，使的面积最大？并求出最大值．【答案】（1）①，②点、的坐标分别为、；（2）当时，有最大值，且最大值为6．解：（1）①根据抛物线的性质，y＝﹣x2+4x移后的对应的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+4（x﹣3）+3＝﹣x2+10x﹣18②，联立①②并解得，故点B的坐标为（3，3），由点B的坐标得，直线OB的表达式为y＝x③，联立②③并解得或，故点B、C的坐标分别为（3，3）、（6，6）；∴①答案为：y＝﹣x2+10x﹣18，②点B、C的坐标分别为（3，3）、（6，6）；（2）如图2，过点C作CH⊥PQ，交PQ延长线于点H，∴PQ⊥x轴，∴PQ＝（﹣m2+10m﹣18）﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，CH＝6﹣m，∴S△CPQ（6m﹣18）（6﹣m）＝﹣3m2+27m﹣54，由于P是抛物线M1上AB段一点，故3≤m≤4， m，不在3≤m≤4范围内，∵a＝﹣1，开口向下，在对称轴的左侧，S随着m的增大而增大，∴当m＝4时，S有最大值，且最大值为6．