初升高数学全体系衔接专题05二次函数的三种表示方式（教师版）

专题05二次函数的三种表示方式专题综述课程要求二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求《初中课程要求》了解了一些简单函数图象的变换，如左加右减之类的水平平移，还了解了些简单的对称变换《高中课程要求》掌握各种平移变换，如左加右减的水平平移，上加下减的垂直平移，还要掌握各种对称变换，特別是关于原点、坐标轴的对称变换知识精讲高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y＝a(x-h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(h，k)．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 典例剖析高中必备知识点1：一般式【典型例题】已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t的方程t2+mt+n＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根．【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3）9a﹣3b+c＝0解得a＝1，b＝2，c＝﹣3∴抛物线y＝x2+2x﹣3；（2）∵点（m，k），（n，k）在此抛物线上，∴（m，k），（n，k）是关于直线x＝﹣1的对称点，∴＝﹣1即m＝﹣n﹣2b2﹣4ac＝m2﹣4n＝（﹣n﹣2）2﹣4n＝n2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式) 【答案】y=-x2+2x+3【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=12x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y2.（1）求抛物线y2的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1)y=12x-22-2;(2)4.【解析】（1）∵抛物线y1=12x2的顶点坐标为0,0，把点0,0先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为2,-2， ∴抛物线y2的解析式为y=12x-22-2；（2）∵顶点坐标为2,-2，且抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=S矩形OBAC，∴抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=4.高中必备知识点2：顶点式【典型例题】已知二次函数．⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）；（2）（1，2），直线【解析】（1）（2）∵ ∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a（1+1）2+2=﹣6，解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点，，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设，把点，，代入得，解得∴；（2）∵∴函数的顶点坐标为（1，-4）；（3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点． 高中必备知识点3：交点式【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x+2k﹣2的图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）当k取正整数时，请你写出二次函数y=x2+2x+2k﹣2的表达式，并求出此二次函数图象与x轴的两个交点坐标．【答案】（1）k＜32；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程x2+2x+2k-2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，即4-42k-2>0，解得k<32．（2）∵k为正整数，k<32．∴k=1．∴y=x2+2x令y=0，得x2+2x=0,解得x1=-2，x2=0，∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－12x2－2x＋52.【解析】(1)∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3， ∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－12，∴y＝－12x2－2x＋52.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图： 由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．对点精练1．已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C解：∵抛物线的对称轴为直线x2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵∴由题意得：过点（0，-3）作x轴的平行线，如图所示． ∵该直线y=-3与抛物线有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，结论③正确；故选：C．2．如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法中，错误的是（）A．B．C．D．（为实数）【答案】C解：A、∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确，不符合题意；B、∵对称轴x=-=1，∴2a+b=0；故正确，不符合题意；C、∵2a+b=0，∴b=-2a，∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴a-（-2a）+c=3a+c＜0，故错误，符合题意；D、根据图示知，当x=1时，有最大值； 当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确，不符合题意．故选：C．3．已知抛物线与x轴有两个交点，现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是；③若时，有，，则m的取值范围是．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D解:把函数变形，由m为任意数∴，解得，抛物线过定点，①此抛物线过定点正确；∵抛物线与x轴有两个交点，，，解得且，∵抛物线开口向下，∴，解得，又∵且，∴； ②若抛物线开口向下，则m的取值范围是正确，若时，，抛物线开口向上，抛物线与x轴有两个交点，，∴当x=-2,，y，当x=-1，y，即，解得，，∴当x=1,，y，当x=2，y，即，解得，∴有，，则m的取值范围是．③若时，有，，则m的取值范围是正确，所以正确结论的个数有3个．故选择D．4．二次函数为常数，且)中的x与y的部分对应值如表：x-1013 y-1353下列结论：①；②当时，的值随值的增大而减小；③当时，函数有最值；④是方程的一个根；⑤当时，．其中结论正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C解：根据x与y的部分对应值可知：当x=-1时，y=-1，即a-b+c=-1；当x=0时，y=3，即c=3；当x=1时，y=5，即a+b+c=5；∴，解得：，∴二次函数的解析式为y=-x2+3x+3．①ac=-1×3=-3＜0，故本选项正确；②对称轴为直线x==，a=-1＜0，∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故本选项错误；③∵对称轴为直线x=，∴当x=1.5时，函数有最值，故本选项正确；④方程ax2+（b-1）x+c=0可化为方程ax2+bx+c=x，由表格数据可知，x=3时，y=3，则3是方程ax2+bx+c=x的一个根，从而也是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，故本选项正确；⑤不等式ax2+（b-1）x+c＞0可化为：ax2+bx+c＞x，即y＞x，∵由表格可知，（-1，-1），（3，3）均在直线y=x上，又抛物线y=ax2+bx+c开口向下，∴当-1＜x＜3时，y＞x，故本选项正确；综上，只有②错误．故选：C． 5．如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：①；②；③；④；⑤关于x的方程的另一个解在和之间，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴直线，∴，∴，故①②正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴点与关于直线对称，∵时，，∴时，，即，故③正确； ∵抛物线，其顶点坐标为，∴，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，∴关于x的方程的另一个解在和之间，故⑤错误；∴正确结论的有①②③④共4个，故选：D．6．二次函数的最大值为，且中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（）A．这两点一定是M和NB．这两点一定是Q和RC．这两点可能是M和QD．这两点可能是P和Q【答案】C解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，A.若M和N不在该二次函数图象上，则由题意知P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）一定在图象上，而x＞﹣1时y随x增大而减小，这与Q（2，n），R（3，n+1）矛盾，故A不符合题意；B.若Q和R不在该二次函数图象上，则M（﹣4，c）一定在图象上，而抛物线与y轴交点（0，c）一定在图象上，这样抛物线对称轴为，这与抛物线对称轴为x＝﹣1矛盾，故B不符合题意；C.M和Q可能不在该二次函数图象上，故C符合题意；D.若P和Q不在该二次函数图象上，则M（﹣4，c）一定在图象上，同B理由，故D不符合题意．故选：C．7．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（）A．B．C．或D． 【答案】C对于一次函数，当时，，当时，，二次函数的对称轴为，由题意，分以下三种情况：（1）当时，若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，即或，不等式可化为，利用因式分解法解方程得：，由二次函数的性质可知，当时，或（舍去），同理可得：不等式无解，综上，此时的取值范围为；（2）当时，若两个函数的图象没有交点，则无解，即关于的方程无解，则方程的根的判别式，解得，则此时的取值范围为；（3）当时，当时，二次函数的函数值为， 所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则此时的取值范围为；综上，的取值范围为或，故选：C．8．函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中．有下列结论：①；②函数在和处的函数值相等；③点，在函数的图象上，若，则．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C∵抛物线的顶点坐标为∴抛物线的对称轴为直线x=-1∵抛物线的图象与x轴交于点设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x,0)，则-1-x=2+1∴x=-4即抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为和故抛物线的解析式为∵n>0，即抛物线的顶点在x轴的上方，且抛物线与x轴有两个交点∴a<0∴b=2a<0，c=-8a>0∴abc>0故①正确当x=1时，y=-5a；当x=-2时，y=-8a∵a<0∴-5a<-8a故②错误 当x=-3时，y=-5a；当x=1时，y=-5a∵当时，函数值随自变量的增大而增大；当时，函数值随自变量的增大而减小∴当时，∵当时，函数值随自变量的增大而减小∴∴故③正确从而正确的结论有两个．故选：C．9．如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③3；④当时，；⑤（为实数）．其中正确的是（）A．①②③B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【答案】B解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴为x＝1， ∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，即②正确，④错误；抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，∴9a+3b+c＜0，又b＝﹣2a，∴9a﹣6a+c＝3a+c＜0，故③错误；由图可知，当x＝1时，函数有最大值，∴对于任意实数m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b），故⑤正确．综上，正确的有①②⑤．故选：B．10．已知抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，若t≤3，则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m＜3C．m＜3D．1≤m＜3【答案】B解：∵抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，∴，∴m＜3，∵当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，∴，∴1≤m，∵y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3＝－（x＋m－3）2－6m＋12，抛物线上的点P的纵坐标t≤3，∴当x＝3－m时，y≤3，即－6m＋12≤3，∴m≥，综上所述，满足条件的m的值为≤m＜3．故选：B． 11．已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为_____．【答案】25解：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，对称轴，解得，，那么当时，函数的值为25．故答案为25．12．抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为___________.【答案】（5，6）解：y=mx2+（1-4m）x+1-5m=（x2-4x-5）m+x+1，令x2-4x-5=0，解得x=-1或x=5，当x=-1时，y=0；当x=5时，y=6；∴非坐标轴上的点P的坐标为（5，6）．故答案为：（5，6）．13．抛物线图象与轴无交点，则的取值范围为；【答案】．解：∵抛物线图象与轴无交点，∴该抛物线开口向下，且，即：，解之得：，故答案为：．14．抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线_____．【答案】 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝，∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是x＝．即对称轴是x＝．故答案为：x＝．15．二次函数的图象如图所示，则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有______．（填写番号）【答案】③④解：由图象知，二次函数的图象开口向下，，故①错误；由图象知，二次函数的图象与轴交于正半轴，，故②错误；当时，由图可知，，，故③正确；由图可知，二次函数图象与轴有两个不同的交点，，故④正确，故其中正确的有③④，故答案为：③④．16．从，，，2，5中任取一数作为a的值，能使抛物线的开口向下的概率为__________．【答案】根据使抛物线的开口向下的条件是，∴只有，-1符合条件． ∴使抛物线的开口向下的概率为．故答案为：．17．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确判断的序号是_____．【答案】②③．①由图象可知：a＞0，c＜0，对称轴：x＝＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误．②由抛物线的对称性可知：△＞0，即b2﹣4ac＞0，故②正确．③∵＝﹣1，∴b＝2a，令x＝1代入，y＝a+b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，故③正确．④（﹣0.5，y1）与（﹣1.5，y1）关于直线x＝﹣1对称，由于﹣1.5＞﹣2，∴y1＜y2，故④错误．故答案为：②③．18．二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是________．【答案】 ∵二次函数，，∴函数图像开口向下，对称轴，①当，即时，当时，y随x的增大而减小，，当时，或，不符合题意；②当时，时，y随x的增大而增大，x=0时，恒成立，此时都满足题意；时，，，即当时，y在随x的增大而增大，∴x=0时，，符合题意，则此情况下；③当时，即，当时，，当时，，∵的最小值为1，∴，，此时，综上：．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A(﹣3，y1)、点B(﹣，y2)、点C(7，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有_____． 【答案】（1）（2）（5）∵x＝﹣＝2，∴4a+b＝0，故（1）正确．∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=2，∴另一个交点为（5，0），∵抛物线开口向下，∴当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，∴9a+c＞﹣3b，故（2）正确．∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0∵b＝﹣4a，∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）错误；∵抛物线的对称轴为x＝2，C（7，y3）在抛物线上，∴点（﹣3，y3）与C（7，y3）关于对称轴x＝2对称，∵A(﹣3，y1)在抛物线上，∴y1=y3，∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，抛物线开口向下，∴y随x的增大而增大，∴y1＝y3＜y2，故（4）错误．方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5， 过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，∵x1＜x2，抛物线与x轴交点为（-1，0），（5，0），∴依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确．故答案为：（1）（2）（5）20．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，则以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根，其中正确结论为__________．【答案】②③解：∵抛物线与轴有两个交点，∴，所以①错误，不符合题意；∵顶点为，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，∴当时，，∴，所以②正确，符合题意；∵抛物线的顶点为，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，即，所以③正确，符合题意；∵当时，二次函数有最大值为， 即只有时，，∴方程有两个相等的实数根，所以④错误，不符合题意．故答案为：②③．21．在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）当时，①抛物线的对称轴为______；②若在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是______；（2）抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移3个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围．【答案】（1）①1；②或；（2）或．（1）①抛物线的对称轴为：，故答案为：1；（2）根据抛物线图象特征，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是或，故答案为：或；（2）抛物线的对称轴为：，且对称轴与x轴交于点M， 点与点关于轴对称，M向右平移3个单位得到点，，依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，把点代入抛物线，可得，把点代入抛物线，可得，把点代入抛物线，可得，根据所画图象可知抛物线G与线段AB的交点恰有一个时，或．22．平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点．（1）直接写出点坐标．（2）当此函数图象经过点时，求此函数表达式，并写出函数随增大而增大时的取值范围． （3）当时，若函数（为常数）图象最低点到直线的距离为3，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）或．解：（1）当时，，所以；（2）将点代入，得，解得，所以，抛物线的开口向上，其对称轴为，当时，随的增大而增大；（3）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，由题意，分以下三种情况：①如图，当时，则对称轴在轴右侧，当时，此函数图象的最低点就是顶点，最低点到直线的距离为3，，解得或（不符题设，舍去）；②如图，当时，则对称轴在轴左侧， 当时，此函数图象的最低点就是点，最低点到直线的距离为3，，解得或（不符题设，舍去）；③如图，当时，则对称轴为轴，直线为直线，当时，此函数图象的最低点就是点，则最低点到直线的距离为1（不符题意，舍去）；综上，的值为或．23．已知函数（，为常数）．当时，，当时，，请对该函数及其图象进行探究：（1）___________，___________；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．（3）已知函数的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）2，；（2）见解析；（3）或解：（1）由题意得：，解得，故答案为2，；（2）由（1）知函数的表达式为，当时，，当时，；根据函数表达式画出函数图象如下：从图象看，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；（3）从图象看两个函数交于点、， 联立和得：，解得（负值已舍去），即点的横坐标为，从函数图象看，不等式的解集为或．24．已知二次函数（是常数）．（1）若该函数图像与轴有两个不同的公共点，求的取值范围；（2）求证：不论为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上；（3），是该二次函数图像上的点，当时，都有，则的取值范围是___________．【答案】（1）；（2）见解析；（3）或解：（1）令，则，∵，，，∴，∵该函数图像与轴有两个不同的公共点，∴该方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得．∴当时，该函数图像与轴有两个不同的公共点．（2）由，得顶点坐标为，将代入，得，∴不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上．（3）或由（2）可知该抛物线顶点为，当时，，∴时，随的增大而减少， 又∵该函数开口向下，对称轴为直线，∴如图，得出，当时，，要使恒成立，则，∴，或，结合，∴或．25．已知抛物线．（1）求此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；（3）若点与点在此抛物线上，且，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）当＜时，＞或＜当＞时，＜＜解：（1）抛物线的对称轴为：（2）的对称轴为直线顶点的横坐标为-1，纵坐标为：，又顶点在上， 解得：所以抛物线的解析式为：或（3）关于抛物线对称轴对称的点的坐标为：当＜时，抛物线的开口向下，点与点在此抛物线上，且，如图，＞或＜当＞时，抛物线的开口向上，如图，同理可得：点与点在此抛物线上，且，此时：＜＜26．已知抛物线．（1）求该抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； （3）当时，若为该抛物线上三点，且总有，请结合图象直接写出m的取值范围．【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）抛物线为yx2+x或y＝x2-2x+1；(3)且m≠－1解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+3a2＝a（x﹣1）2+3a2﹣a﹣2．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴3a2﹣a﹣2＝0，解得a或a＝1，∴抛物线为yx2+x或y＝x2-2x+1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，∴关于x＝1对称点的坐标为∵a＞0，对称轴为x＝1∴为顶点坐标，即为最小值；∵总有，m-1＜m+2∴且解得且m≠－127．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点． （1）直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；（2）若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；（3）过抛物线上动点（其中）作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）或解：（1）由题意得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴x=1上，∴D(1-3)，将其代入得-3=a-2a+c，化简得c=a-3；（2）当a>0时，二次函数图象开口向上，如图，抛物线的开口向上，当，即，此时：当时，满足，当时，函数值最大，则解得：，不合题意，舍去当＜＜时，则＜＜，如图， 此时：当时，满足，当时，函数值最大，则解得：，不合题意，舍去当时，则，如图，此时：当时，满足，当时，函数值最大，则恒成立，当a<0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值，不满足，此情况不存在；综上；（3）|MN|≥1即，即 ①(x≥3恒成立要求a＞0，其对称轴为x，只需要求x=3时即9a-3a-a≥1，解得；②(x≥3恒成立要求a﹤0)，只需要求x=3时即9a-3a-a≤-1，解得．28．已知抛物线经过点和点，顶点为．（1）求、的值；（2）若的坐标为，当时，二次函数有最大值，求的值；（3）直线与直线、直线分别相交于、，若抛物线与线段（包含、两点）有两个公共点，求的取值范围．【答案】（1）2；-1（2）-3或4（3）或解：（1）由于抛物线经过点，点所以，，所以（2）因为抛物线为，又顶点坐标为所以，所以∵，∴抛物线开口向下，对称轴，∵时，有最大值，∴当时，有，∴或，①在左侧，随的增大而增大，∴时，有最大值，∴； ②在对称轴右侧，随增大而减小，∴时，有最大值；综上所述：或；（3）与直线、直线分别相交于、，∴，①时，时，，即；②时，时，，即，直线的解析式为，抛物线与直线联立：，∴，，∴，∴的取值范围为或．29．在平面直角坐标系中，函数y＝x2－2ax－1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2－2ax－1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．【答案】（1）；（2），当时，随的增大而增大；（3）或a=-1-．（1）当时，，所以.（2）将点代入，得.解得所以（如图1所示） 抛物线的开口向上，对称轴为.因此当时，随的增大而增大.（3）抛物线的对称轴为，顶点坐标为.如图2，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是.已知最低点到直线的距离为2，所以.解得.如图3，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点. 所以.整理，得.解得，或（舍去正值）.综上：或.30．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(n，b)，B(m，a)且m﹣n＝1．（1）当b＝a时，直接写出函数图象的对称轴；（2）求b和c（用只含字母a、n的代数式表示）；（3）当a＜0时，函数有最大值﹣1，b＋c≥a，n≤，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）（1）函数的对称轴为直线，∵，∴；（2）∵二次函数经过A（n，b），B（m，a），则，整理得：，∵， ∴，∴，将代入得：；（3）∵，∴，即，当时，；而，故，∵()，∴，∴，且，∴，化简得：，∴，∵，当时，随的增大而增大，当时，，当时，，∴．