初升高数学全体系衔接专题17 集合的基本运算（交集与并集）（教师版）

专题17集合的基本运算（交集与并集）学习目标1.理解并集、交集的概念，会用文字语言、符号语言及图形语言来描述这些概念2.了解并集、交集的一些简单性质，会求两个简单集合的并集与交集3.能借助Venn图来探讨集合之间的关系及运算规律4.初步掌握集合的基本运算的常用语言及有关符号，并会正确地运用它们进行集合的相关运算5.重点提升数学抽象和数学运算素知识精讲高中必备知识点1：并集和交集的定义定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言[知识点拨]　(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．高中必备知识点2：并集和交集的性质并集交集 简单性质A∪A＝A；A∪∅＝AA∩A＝A；A∩∅＝∅常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A典例剖析高中必会题型1：并集的运算1．已知集合，，则________【答案】由题解得所以，，所以.故答案为：2．已知集合A=，B=，A∪B=_______．【答案】因为B={y|y=x2，x∈A}=，所以A∪B=．故答案为：3．集合，，则______． 【答案】因为，所以，因为，所以，则，故答案为：.4．已知集合，，则中的元素个数为________.【答案】4因为，所以则中的元素个数为4.故答案为：45．已知集合，集合，则______.【答案】，.故答案为：.高中必会题型2：交集的运算1．集合A={x|2k<x<2k+1，k∈Z}，B={x|1<x<6}，则A∩B=_______．【答案】{x|2<x<3或4<x<5}在数轴上表示集合A，B，如图： 所以A∩B={x|2<x<3或4<x<5}．故答案为：{x|2<x<3或4<x<5}2．已知集合，，若，则实数__________．【答案】1根据题意，若，则A和B必然含有共同元素，又由，，则有，且或，故解得故答案为：13．已知集合，集合，则集合____________.【答案】，，因此，.故答案为：.4．已知集合，则_______．【答案】由得，所以.故答案为.5．已知集合，，则________【答案】解：因为集合，，.故答案为：. 高中必会题型3：交集、并集中的参数问题1．已知集合（1）若集合，，且，求实数的取值范围；（2）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．（1）由，解得，，．，，因为区间表示集合时，必须满足．，且，解得．实数的取值范围是．（2），．若，则，解得，可得，解得，综上可得．故实数的取值范围是2．集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）（1）由集合，， 因为，所以，则，即实数的取值范围为.（2）因为，且，所以，故实数的取值范围为.3．已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.解：（1）∵时，集合，或．∴．（2）∵集合，或，∴，解得．∴实数的取值范围是．4．设集合，或．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）0≤a≤1；（2）或.（1）因为A∩B＝，所以，解得0≤a≤1，所以a的取值范围是{a|0≤a≤1}.（2）因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以a＋1或，解得或，所以a的取值范围是或.5．已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．（1）当时，，则；（2）由知，解得，即的取值范围是；（3）由得①若，即时，符合题意；②若，即时，需或．得或，即．综上知，即实数的取值范围为．对点精练1．设集合，，则的子集个数为（）A．4B．7C．8D．16【答案】A，，则，∴的子集个数为个，故选：A．2．已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=() A．{-1，0，1}B．{0，1}C．{-1，1}D．{0，1，2}【答案】A因为集合A={-1，0，1，2}，B={x|-1≤x≤1}，则A∩B={-1，0，1}．故选：A3．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D故选：D4．已知集合，若，则B可能是（）A．B．C．D．【答案】A因为，所以，四个选项中只有是集合A的子集．故选：A.5．集合，，那么（）A．B．C．D．【答案】A，，.故选：A6．已知全集，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】B 已知全集，，.对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项正确；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项错误.故选：B.7．已知集合，那么（）A．B．C．D．【答案】A，.故选：A.8．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】A，，故选：A.9．若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（　　）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R【答案】A集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}， 因为A∪B=A，所以B⊆A．分析各选项，只有{0，1}⊆A，满足题意，故选：A．10．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B解：依题意，，所以，故选：B11．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A∵集合，集合，∴，即.故选A12．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验当x＝或－时满足题意，故选B.13．设集合，则______．【答案】由题意，集合，可得，所以. 故答案为：.14．已知集合，，若，则实数的值为___【答案】解：∵，，，∴，且，∴．故答案为：．15．已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}．若A∩B={x|3<x<4}，则a的值为_______．【答案】3由A={x|2<x<4}，A∩B={x|3<x<4}，如图，可知a=3，此时B={x|3<x<9}，即a=3为所求．答案：316．若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝，则m的取值范围是__．【答案】m＞﹣4．解：A∩R+＝知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝，则＝（m+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0，①若A≠，则＝（m+2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4， 故答案为：m＞﹣4．17．学校开运动会，设是参加跑的同学，是参加跑的同学，是参加跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）；（2）．【答案】规定说明：；（1）是参加或参加跑的同学；（2）是参加且参加跑的同学.每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，用集合运算说明为：；（1）由已知可得是参加或参加跑的同学；（2）由已知可得是参加且参加跑的同学.注：集合的并是“或”的关系，集合的交是“且”的关系.18．已知集合A={y|y=x2-2x}，B={y|y=-x2+2x+6}．（1）求A∩B．（2）若集合A，B中的元素都为整数，求A∩B．（3）若集合A变为A={x|y=x2-2x}，其他条件不变，求A∩B．（4）若集合A，B分别变为A={(x，y)|y=x2-2x}，B={(x，y)|y=-x2+2x+6}，求A∩B．【答案】（1）A∩B={y|-1≤y≤7}；（2）A∩B={y|-1≤y≤7}；（3）A∩B={y|y≤7}；（4）A∩B={(3，3)，(-1，3)}．（1）因为y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，所以A={y|y≥-1}，因为y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7，所以B={y|y≤7}，所以A∩B={y|-1≤y≤7}．（2）由已知得A={y∈Z|y≥-1}，B={y∈Z|y≤7}，所以A∩B={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}．（3）由已知得A={x|y=x2-2x}=R，B={y|y≤7}， 所以A∩B={y|y≤7}．(4)由得x2-2x-3=0，解得x=3，或x=-1，所以或所以A∩B={(3，3)，(-1，3)}．19．已知，．（1）当时，求；（2）当时，若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.（1）由得：，则；当时，由得：，则；；（2）若，则，当时，，又，则，解得：，实数的取值范围为.20．设集合，，求，．【答案】答案见解析解：因为所以又因为，当时，所以，当时，所以， 当时，所以，当且且时，所以，21．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|x2﹣10x+9＜0}，C＝{x|a＜x＜a+1}．（1）求，；（2）如果，求实数a的取值范围．【答案】（1），或；（2）或．（1），，所以，或，或。（2）因为，所以或，即或。所以实数的取值范围为或。22．已知，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.解：（1），当时，，；（2）由得， ，解得，实数的取值范围是．