2023八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程不等式第3课时课件（人教版）

一次函数八年级下册RJ初中数学19.2.3一次函数与方程、不等式课时3 1.写出下列二元一次方程的几组解：（1）3x+y=0；（2）5y-2x=3；解：满足题意的解有解：满足题意的解有x=0,y=0,x=1,y=-3,x=-1,y=3x=0,y=,x=1,y=1,x=-1,y=知识回顾…… ①-②得,x=3将x=3代入①中得，6+y=4解得y=-2.2.解二元一次方程组x+y=1.2x+y=4,x+y=1②,2x+y=4①,解：y=-2.x=3,所以这个方程组的解为 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系.2.会根据一次函数图象求解二元一次方程（组）.学习目标 写出二元一次方程x+y=3的几组解.画出一次函数y=-x+3的图象.课堂导入 二元一次方程x+y=3的解有x=1,y=2,x=-1,y=4,x=0,y=3,x=3,y=0一次函数y=-x+3的图象为如图所示.yxO33y=-x+3写出的几组解和一次函数的图象有什么关系？… 从以上例子可以看出：每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为一次函数的形式，二元一次方程的解作为点的坐标都在与其相对应的一次函数图象上；反之，一次函数图象上的点的坐标是对应的二元一次方程的解.知识点：一次函数与二元一次方程（组）新知探究 1.一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0的解.2.以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上. 问题1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.用式子分别表示两个气球所在位置的海拔(单位:m)关于上升时间(单位:min)的函数关系;分析:(1)气球上升时间满足0≤x≤60.1号气球的函数解析式为y=x+5;2号气球的函数解析式为y=0.5x+15. (2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能，这时气球上升了多长时间?位于什么高度?分析：(2)在某个时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出x和y，则问题得到解决.由此容易想到解二元一次方程组y=x+5，y=0.5x+15，x-y=-5，0.5x-y=-15，解得x=20，y=25.即当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.即 你能画出以上两个一次函数的图像吗？你发现了什么？能，如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图像，这两条直线的交点坐标为（20,25）.发现这个交点坐标和上述二元一次方程组的解一致，也能说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.yxO40P(20,25)20602550y=x+5y=0.5x+15 从以上例子可以看出：以二元一次方程组的解作为点的坐标是对应的两个一次函数的交点；反之，两个一次函数的交点坐标是对应的二元一次方程组的解. 从“数”的角度来看解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时对应的两个一次函数相等以及这个函数值是多少的问题. 从“形”的角度来看解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标，所以可以在同一坐标系中画出两个对应一次函数的图象来求解. （1）字母的意义不同：方程中的字母表示的是未知数，一次函数中的字母表示的是变量.（2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系.二元一次方程与一次函数的区别 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤（1）变函数：把方程组化为一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2.k1x-y1+b1=0，k2x-y2+b2=0（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象. （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标.（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤注意：用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解. 拓展：二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解. 如果二元一次方程组的解是x+2y=1,3x-2y=3那么它是哪两个一次函数图像的交点坐标，求出交点坐标？x=1,y=0.解：两个一次函数分别为和两个一次函数的交点坐标，交点坐标为（1，0）.跟踪训练新知探究 1.求直线y=-x+3和直线y=-2x+5的交点坐标.解：将直线y=-x+3和直线y=-2x+5转化为一个二元所以交点坐标是（2，1）.x+y=3，2x+y=5，x=2，y=1.一次方程组，即解得随堂练习还有其他方法吗？ 解：在同一平面直角坐标系中分别画出直线y=-x+3和直线y=-2x+5的图象.由图象可知交点坐标是（2，1）.yxOy=-x+3y=-2x+5（2，1）53312 2.二元一次方程组的解有（）A.0B.1C.1或0D.无数个分析：将方程组中的两个方程转化为两个一次函数，其自变量系数都为-1,说明两条直线平行或重合.又1≠3，所以两直线不重合,也即说明对应的二元一次方程组无解.x+y=1，x+y=3A 3.求一次函数y=2x+2，y=-x+5的图象l1，l2与x轴围成的三角形的面积.求三角形三个顶点的坐标利用面积公式求三角形的面积直线l1与x轴的交点坐标直线l2与x轴的交点坐标直线l1与l2的交点坐标分析： 解：设直线l1，l2交于点A，两直线分别与x轴交于点B，C.对于一次函数y=2x+2，令y=0，即2x+2=0，解得x=-1，∴一次函数y=2x+2的图象与x轴的交点B的坐标为(-1，0).对于一次函数y=-x+5，令y=0，即-x+5=0，解得x=5，∴一次函数y=-x+5的图象与x轴的交点C的坐标为(5，0). 由得则交点A的坐标为(1，4).依次在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象，由图象易知BC=6，BC边上的高即为点A对应的纵坐标为4，故S△ABC=BC·yA=×6×4=12. 求直线与坐标轴围成的几何图形的面积的方法先求出直线与直线、直线与坐标轴的交点坐标,再利用数形结合的方法求解,计算时要注意线段的长与坐标的关系。 一次函数与二元一次方程组二元一次方程二元一次方程组二元一次方程的解对应一次函数图象上的点的坐标.二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标.课堂小结 1.利用一次函数的图象解二元一次方程组解析：将方程组中的两个二元一次方程转化为两个一次函数，在同一个坐标系中画出两个一次函数的图象，再利用图象进行求解.y-2x-1=0，y-x+1=0.拓展提升 解：由方程组，得一次函数y=2x+1与y=x-1.如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y=2x+1与y=x-1的图象.它们的交点坐标为（-2，-3），所以二元一次方程组的解为.x=-2y=-3 2.在同一坐标系中分别画出y1=-2x+1和y2=2x-3的图象，并根据图象回答下列问题.（1）直线y1=-2x+1和y2=2x-3分别与y轴交于A,B两点，请分别写出A,B两点的坐标；（2）写出直线y1=-2x+1和y2=2x-3的交点P的坐标；（3）求△PAB的面积. 解：（1）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y1=-2x+1和y2=2x-3的图象.它们与y轴的交点坐标分别为A（0，1），B（0，-3）.yxOy1=-2x+1y2=2x-333-3-31AB（1）直线y1=-2x+1和y2=2x-3分别与y轴交于A,B两点，请分别写出A,B两点的坐标； （2）如图，根据同一平面直角坐标系中一次函数y1=-2x+1和y2=2x-3的图象可知：它们的交点坐标为P（1，-1）.yxOy1=-2x+1y2=2x-333-3-31ABP（2）写出直线y1=-2x+1和y2=2x-3的交点P的坐标； （3）根据（1）,（2）可知：A（0，1），B（0，-3）,P（1，-1），则△PAB的底边长为AB=4，高为点P的横坐标为1，所以△PAB的面积==2.yxOy1=-2x+1y2=2x-333-3-31ABP（3）求△PAB的面积.更多同类练习见RJ八下《教材帮》19.2.3节方法帮 3.l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(元)与照明时间x(h)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样.（1）根据图象分别求出l1和l2的函数解析式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用一样. 解：（1）由图可知：l1经过点（0，2）和（500，17）；l2经过点（0，20）和（500，26）.设l1的函数解析式为y1=k1x+b1（k10）则有解得b1=2，17=500k1+b1，k1=b1=2l1的函数解析式为y1=x+2.（1）根据图象分别求出l1和l2的函数解析式； 设l2的函数解析式为y2=k2x+b2（k20）则有解得b2=20，26=500k2+b2，k2=，b2=20.l2的函数解析式为y2=x+20.（1）根据图象分别求出l1和l2的函数解析式； （2）由图可知，当l1和l2相交时，照明时间和费用都相同，此时的照明时间即为交点的横坐标.则有解得y=x+2,y=x+20,x=1000,y=32.当照明时间为1000h时，费用一样.（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用一样.