上海市实验学校2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海实验学校高一期末数学试卷2022.06一､填空题（本大题病分40分，本大题共有10题）1.已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________.【答案】##【解析】【分析】设公差为d，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式.【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得：，所以.故答案为：.2.已知四边形是边长为1的正方形，则________【答案】【解析】【分析】根据平面向量的加法运算求得，进而根据模长的定义即可求出结果.【详解】,故答案为：.3.设复数，则的共轭复数的虚部是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，计算出复数的代数形式，即可求解.【详解】因, 所以，因此的共轭复数的虚部是.故答案为：.4.已知向量，则在方向上的投影为___________.【答案】##22【解析】【分析】求出的值及，由计算即可.【详解】解：因为，所以，，由可得：，即在方向上的数量投影为：.故答案为：.【点睛】理解投影的概念是关键.5______【答案】【解析】【分析】根据已知条件，利用复数模的公式直接计算即可.【详解】由，故答案为：.6.复数的辐角主值是___________.【答案】##【解析】【分析】复数的代数形式化为复数的三角形式即可.【详解】复数化为复数的三角形式， 可得：，所以复数辐角主值是.故答案为：7.已知向量、，，，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】将展开结合已知条件以及余弦函数的性质即可求解.【详解】设向量、夹角为，，因为，所以，所以，即，所以，故答案为：.8.在数列中，，，则________．【答案】【解析】【分析】先由，得到，求出数列的通项公式，进而可求出结果.【详解】因为，所以，则，所以数列是以为公差的等差数列， 又，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.9.设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解.详解】由，得，由，得，因，所以，即，且，又因，所以，即，且,因此.故答案为：.10.定义“二元函数”如下：；例如：，对于奇数m，若任意，存在为正整数，且（彼此不同），满足，则最小的正整数m的值为___________.【答案】81 【解析】【分析】计算得到，故m至少有4个不同的正的奇约数，且4个奇约数中，至少有一个为的形式，找到3为最小的大于1的正奇数，且，从而求出m的值.【详解】，由题意可知：存在4组不同的正整数，使得奇数，故m至少有4个不同的正的奇约数，且4个奇约数中，至少有一个为的形式，因为3为最小的大于1的正奇数，且，故m的最小值为.故答案为：81二､选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）11.在中，""是为钝角三角形的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】由，可得，所以为钝角，是钝角三角形，所以由可以得出为钝角三角形，若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，所以在中，""是为钝角三角形的充分不必要条件，故选：A.12.已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（）A.2B.C.或2D.【答案】A【解析】 【分析】由于复数为纯虚数，所以，从而可求出的值【详解】解：因为复数（为虚数单位）为纯虚数，所以，由，得或，由，得且，所以，故选：A13.已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是（）A.与共轭B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由复数范围内的求根公式结合复数的运算法则依次判断即可.【详解】由复数范围内的求根公式可得，当时，；当时，，则B错误；当时，方程有两个不相等的实根，与不共轭，A错误；当时，易得；当时，，，C正确；当时， ，，故，D错误.故选：C.14.数列满足（，n为正整数），则下列命题中真命题的个数是（）①若数列满足，则（，n为正整数）；②若（其中p､q､m､n为正整数），则；③一定存在常数d，使得（，n为正整数）都成立；④一定存在常数q，使得（，n为正整数）都成立.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】对于①：根据数列为递增数列分析判断；对于②：取，，分析判断；对于③：根据进行放缩，取，利用累加法运算处理；对于④：取代入检验判断．【详解】∵，则∴数列为递增数列若，即，可得，则，①为真命题；取，则数列为递减数列，数列为递增数列符合题意若令，则， ∴，②为假命题；∵对∴取常数d满足则，③为真命题；取，显然满足但对，，④为假命题；故选：B．三､解答题（体大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）15.，依照下列条件求实数k的值.（1）与相互平行；（2）与相互垂直.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可求解；（2）根据向量垂直的坐标表示即可求解.【小问1详解】解：因为，所以，，因为与相互平行，所以，解得； 【小问2详解】解：因为，所以，，因为与相互垂直，所以，解得.16.已知是复数，为实数（为虚数单位），且．（1）求复数；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出复数的值；（2）化简复数，利用复数的模长公式可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）设，则，所以，，可得，为实数，所以，，解得，因此，；（2），所以，，可得，解得，因此，实数的取值范围是.17.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变. （1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数.【答案】（1），（2）206万张【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式可得，结合题意可得，根据等比数列通项公式可得，结合题意利用前项和公式判断可得；（2）根据（1）分别求数列、的前17项和，再相加．【小问1详解】设当时，数列为等差数列，则根据题意令，则∴，则设当时，数列为等比数列，则其前项和为递增数列，且∴，，则【小问2详解】根据题意可得到2029年（包含2029年），即为第17年对于数列的前项和对于数列的前项和 到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数为（万张）18.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，且等式对任意成立．（1）求数列的通项公式；（2）将数列与的项相间排列构成新数列，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和；（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】【分析】（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1时，4a1，解得a1，n≥2时，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根据数列{an}的各项均为正数，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差数列的通项公式可得an．（2）数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得bn．进而得出cn，T2n．（3）Tn≥λ•cn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，对n分类讨论即可得出．【详解】（1）由，即，所以，两式相减得，，故，因为，所以．又由得．所以，数列是首项为，公差为的等差数列．所以，数列的通项公式为． （2）由题意，数列是首项为，公比为等比数列，故．所以，数列前项和，数列的前项和．所以，．（3）当为偶数时，设（），由（2）知，，，由，得，即，设，则，所以，当时，单调递增，当时，单调递减．因为，当时，，所以，．所以，．当为奇数时，设（），则，，由，得，即，设，则，故单调递增，，故．综上，的取值范围是．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列 的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．