上海市七宝中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海市七宝中学2021-2022学年高一下期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.三条互相平行的直线最多可确定____个平面．【答案】3【解析】【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案.【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面，所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面.故答案为：3.2.若复数满足，则的虚部为___.【答案】【解析】【分析】先根据复数的模以及除法法则化复数为代数形式，即得结果.【详解】因此的虚部为.【点睛】本题考查复数的虚部、模以及除法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．【答案】【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：，底面半径 为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：故答案为【点睛】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．4.将复数化为三角形式：______．【答案】【解析】【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值，又所以.故答案为：.5.若正四棱柱的底面边长为1，直线与底面所成角的大小是，则到底面的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据正四棱柱的几何性质由直线与底面所成角的大小是，确定线段的长，则则到底面的距离即可求.【详解】解：如图，连接 正四棱柱的底面边长为1，则，所以且底面，则直线与底面所成角即则则在正四棱柱中，到底面的距离为即到到底面的距离.故答案为：.6.如下图所示，梯形是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法），若，，则四边形的面积是_____．【答案】10【解析】【分析】根据直观图画法规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．【详解】根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，，所以原图中， 从而得出AD⊥DC，且，直观图中，，所以原图中，，即四边形ABCD上底和下底边长分别为4，6，高为2，故其面积.故答案为：10.7.正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的大小的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】采用极限思想,让顶点无限接近底面,让顶点无限远离底面,推出范围即可.【详解】假设顶点无限接近底面的中心,那么这四个侧面就趋向一个平面，那两个相邻侧面所成的二面角就无限接近；假设顶点无限远离底面中心,那么四个侧面都垂直于底面,底面两边的夹角就是两个侧面所成二面角的平面角,大小为,因此正四棱锥的两个侧面所成二面角的大小范围是.故答案：8.已知关于的方程的两根为、.若，则实数的值是______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，则由，即可得的值.【详解】解：关于的方程的两根为、， 所以，，所以所以.故答案为：.9.已知正六棱柱各棱长均为2，如果一只小蚂蚁从沿表面移动到时，其最短路程为______．【答案】##【解析】【分析】根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【详解】解：将所给的正六棱柱下图（2）表面按图（1）展开，，，，，故从A沿正侧面和上表面到的路程最短为.故答案为：.10.有以下4个命题：（1）底面是正多边形的棱锥是正棱锥，（2）侧棱和底面所成的角都相等，侧面和底面所成锐二面角也都相等的三棱锥是正三棱锥，（3）底面是正方形，侧面都是等腰 三角形的棱锥是正四棱锥，（4）四个面都是全等三角形的四面体是正四面体．其中正确的命题有_______．（写出所有正确的序号）【答案】（2）【解析】【分析】根据正棱锥的定义及结构特征逐一判断即可.【详解】解：（1）中，底面是正多边形，若顶点在底面的射影不落在底面的中心，此时的棱锥不是正棱锥，所以该命题错误;（2）中，侧棱和底面所成的角都相等，则顶点在底面的射影落在底面的外心，若侧面和底面所成锐二面角都相等，则顶点在底面的射影落在底面三角形的内心，所以该底面三角形的外心和内心重合，所以底面三角形为正三角形，故该棱锥为正三棱锥，所以该命题正确;（3）中，若当一条侧棱和底面边长相等时，另外三条侧棱相等，此时满足侧面都是等腰三角形，但该四棱锥不是正四棱锥,所以该命题错误;（4）中，当四面体有一组对棱相等，另外四条棱长相等时，四个面是全等三角形，但该四面体不是正四面体，所以该命题错误.故答案为：（2）.11.在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__．【答案】##【解析】【分析】先利用平面向量基本定理及M、E、N三点共线，判断出，对消去n后利用二次函数判断出的最小值.详解】 在中，因为，所以.又，，所以.因为E为的中点，所以.因为M、E、N三点共线，所以，即，复数，所以，令，故当，取最小值.故答案为：12.为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所成角的最小值为；④直线与所成角的最大值为．其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号)【答案】②③【解析】【分析】由题意知，三条直线两两相互垂直，如下图，设为直线，为直线，不妨设，利用向量法求解判断即可【详解】由题意知，三条直线两两相互垂直，如下图，设为直线，为直线，不妨设 则，，，依题意可设，等腰直角三角形中，,则点平面即点在平面内的轨迹在以为圆心，1为半径的圆周上，即有，，设直线与成角，直线与成角则有当直线与成角时，有得到，由，可得，此时，所以与成角，故②正确;①不正确.由,又，故，所以所以所以③正确，④错误综上可知选②③．故答案为：②③．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.设，则是为纯虚数的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】 【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果.【详解】对于复数，若，则不一定为纯虚数，可以为；反之，若为纯虚数，则，所以是为纯虚数的必要非充分条件.故选：B.14.一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（）A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥【答案】D【解析】【分析】根据正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长判断.【详解】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，故选：D.15.非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（）A.、、三点共线B.是直角三角形C.是等边三角形D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】设，根据，可得，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可.【详解】解：设，则，故，因为，所以， 所以，所以或，故或，当时，，当时，，所以，所以是直角三角形，故、、三点不共线且不是等边三角形.故选：B.16.已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转，且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，证明平面，分别求出点到的距离，点到的距离，点到的距离，从而可得出答案.【详解】解：取的中点，连接，因为，所以，且， 又平面，所以平面，又平面，所以，设点到的距离为，点到的距离为，点到的距离为，则，由，得，因为，所以影子面积的最小值为.故选：C.三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线． （1）请你用异面直线判定定理证明该结论；（2）请你用反证法证明该结论．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据异面直线的判定定理说明即可；（2）假设直线是共面于平面，则四点共面，说明其与已知矛盾即可，即可得证.【小问1详解】证明：因为平面，平面，平面，直线，所以直线与是异面直线，同理与，与也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线；小问2详解】证明：假设直线是共面于平面，即，则，四点共面与已知四点不共面矛盾，所以假设错误，即直线一定是异面直线，同理与，与也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线.18.如图，四棱柱的底面是正方形，O为底面中心，面，. （1）证明：；（2）求直线AC与平面所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得，，然后利用线面垂直判定定理证得结论.（2）求、平面的一个法向量，由线面角得到向量方法可得答案.【小问1详解】∵､､两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，∵，∴，∴，，，，，由易得，∴，，，∴，，∴，，∴，，又，且､平面，∴平面.∵平面，∴.【小问2详解】 由（1），，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，得，所以，设直线AC与平面所成的角，则，因为，所以，所以直线AC与平面所成的角为.19.如图，是棱长为1的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于．（1）设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； （2）当最小时，求异面直线与所成角的大小．【答案】（1），；值域为（2）【解析】【分析】（1）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域；（2）由（1）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案．【小问1详解】正方体的棱长为1，，设，因为平面，故，则，故，得，故，同理得，，.故当时，有最小值为，当时，，函数的值域为；【小问2详解】当时，最小，此时， 底面中，，，，又，为异面直线与所成角的角，在中，为直角，，，∴异面直线与所成角的大小为．20.对于任意的复数，定义运算为．（1）设集合{均为整数}，用列举法写出集合；（2）若，为纯虚数，求的最小值；（3）问：直线上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点，使该点对应的复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）根据题意得到，代入计算得到答案.（2）根据计算法则得到，代入计算复数模，根据二次函数性质得到最值.（3）假设存在这样的点，计算得到，讨论为奇数和为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1）均为整数，则，，，，，，故.（2），∵是纯虚数，∴且， ∴，∴，或时，的最小值为.（3）假设存在这样的点，设该点对应的复数为，则，若为奇数，则，∴，；若为偶数，则，∴，无解．综上，存在这样的点，坐标为或.【点睛】本题考查了复数运算的新定义，复数的模，复数对应的点，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.圆锥的轴截面为等腰，为底面圆周上一点．（1）若的中点为，，求证：平面；（2）如果，，求此圆锥的侧面积；（3）如果二面角的大小为，求的大小．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，由圆周角定理我们可得，由圆锥的几何特征，可得，进而由线面垂直的判定定理，得到平面，则，结合及线面垂直的判定定理得到平面； （2）若，易得，又由，可求出圆锥的底面半径长及圆锥的母线，代入圆锥表面积公式即可；（3）作于点，由面面垂直的判定定理可得平面，作于点，连，则为二面角的平面角，根据二面角的大小为，设，，进而根据可求出的大小.【小问1详解】连接，因为为的中点，的中点为，所以．因为为圆的直径，所以，故．因为平面，平面，所以.又，平面，所以平面.又平面，故．又，，平面，所以平面．【小问2详解】，，，，又，故圆锥的侧面积．【小问3详解】作于点，平面平面且平面平面平面．再作于点，连， 为二面角的平面角如图：，．设，，，，，，，，．，即，，故，解得，.