上海市上海中学东校2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海市上海中学东校2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则______．【答案】3【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：由题意可得，且，解得.故答案为：3.2.在等差数列中，，公差，则_______．【答案】13【解析】【分析】根据等差数列的通项即可得解.【详解】解：因为，公差，所以.故答案为：13.3.函数的最小正周期为___________.【答案】【解析】【分析】直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可.【详解】函数的最小正周期.故答案为：4.已知，则在方向上的数量投影为_______． 【答案】【解析】【分析】根据投影定义求解即可.【详解】解：由，得，所以在方向上的数量投影为.故答案为：.5.若﹣1，x，y，z，﹣9（x､y､）是等比数列，则实数___________.【答案】-3【解析】【分析】由等比数列的性质直接计算即可得出结果.【详解】﹣1，x，y，z，﹣9（x､y､）是等比数列，.解得：.又，，则.故答案为：6.已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则___．【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列极限的求法可直接构造等式，整理即可得到结果.【详解】，，即.故答案为：.7.已知平面向量，，满足，，且，的夹角为，则 ________．【答案】【解析】【分析】首先根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为，，且，的夹角为，所以，所以故答案为：8.利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了________项；【答案】【解析】【分析】根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.【详解】当时，不等式左边为；当时，不等式坐标为；故增加的项数为.故答案为：【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.9.在中，“”是“”的_____条件．【答案】充分不必要 【解析】【分析】在中，先化简，再根据充分、必要条件的定义判断即可.【详解】在中，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.10.已知和均为等差数列，若，则的值是____．【答案】12【解析】【分析】设数列和的公差分别为，根据题意可求得，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】解：设数列和的公差分别为，由，得，所以.故答案：12.11.已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于、两点，且，则的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】延长交于点，则点为的中点，且，将用表示，再根据三点共线，可得的等量关系，再利用等量代换结合基本不等式即可得解.【详解】解：延长交于点， 则点为的中点，且，故，又因为，所以，因为三点共线，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：.12.已知数列满足，是数列的前项和，则______．【答案】6072【解析】【分析】分为奇数和偶数两种情况讨论，即当时，有，，当时，有， ，从而可得，即可得出答案.【详解】解：由，当时，有，，当时，有，，所以，，，作差可得，所以，所以.故答案：6072.二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）13.下列结论中，正确的是（）A零向量只有大小没有方向B.C.对任一向量，总是成立的D.与线段的长度不相等【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；与线段的长度相等，故D错误．故选：B．14.函数，（其中，，） 其图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据函数所过的特殊点和正弦最小正周期公式，结合诱导公式和正弦型函数的变换性质进行判断即可.【详解】由函数图象可知：，函数过两点，设的最小正周期为，因为，所以有，而，因此，即，因，所以，因为，所以，即，因此，而，而，因此该函数向右平移个单位长度得到函数的图象，故选：B15.某病毒研究所为了更好地研究“新冠” 病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（）A.2806万元B.2906万元C.3106万元D.3206万元【答案】A【解析】【分析】设每个实验室的装修费用为，设备费为，依据题意可得，联立求解可得的值，根据每个实验室的改建费用不能超过1100万元，可求解取值范围，再利用等比数列的求和公式可求解总费用，即得解.【详解】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：.故选：A.16.数列满足，，，则的整数部分是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据数列的递推公式，利用裂项相消法求和即可得到，再先判断，通过计算可判断出，即可求出结果.【详解】因为数列满足，， 所以，即，所以，所以，又因为，即，所以，所以，，，，，，，，即，，，因此的整数部分是.故选：C.三、解答题（本大题满分48分，本大题共有5题）17.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系求解即可；（2）先利用二倍角公式化简，然后计算即可.【小问1详解】【小问2详解】18.已知向量，．（1）求；（2）若向量与互相垂直，求的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算即可；（2）根据平面向量垂直的性质可得到，计算即可求解.【小问1详解】由，，.【小问2详解】若向量与互相垂直，则，所以．19.已知数列（1）令，求证：数列是等比数列； （2）若，求数列的前项和．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】证明：因为，所以，即，又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；【小问2详解】解：由（1）得，，则，，两式相减得，所以．20.如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形白铁片上剪出一个平行四边形，使点在圆弧上，点在上，点在上，设，平行四边形的面积为. （1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值及相应的角．【答案】（1）（2）的最大值为，此时【解析】【分析】（1）分别过作于，于，则四边形为矩形,则,直接利用平行四边形的面积公式求解即可.（2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可.【小问1详解】分别过作于，于，则四边形为矩形．由扇形半径为1m，得，.在△中，,, ，.【小问2详解】由（1）得.∵，∴，∴当时，.21.已知数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得恒成立（其中且），若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由时，，时，即可求得；（2）由题意可得，则，可得，然后用累加法求得，即可得出答案．【小问1详解】当时，， 当时，，当时，也适合上式，所以；【小问2详解】，，其中则，即，所以，由，，，，累加得，所以，则，故存在关于的整式满足题意．