湘教版选修1-1同步练习2.4 圆锥曲线的应用

1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)．A．2B．6C．4D．122．P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值是(　　)．A．33B．16C．10D．83．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm，灯深是40cm，则光源到反光镜顶点的距离是(　　)．A．11.25cmB．5.625cmC．20cmD．10cm4．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y(0≤y≤20)，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为(　　)．A．0＜r≤1B．0＜r＜1C．0＜r≤2D．0＜r＜25．如图，南北方向的公路l，A地在公路的正东2km处，B地在A地东偏北30°方向2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地的距离相等，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是(　　)．A．(2＋)a万元B．2(＋1)a万元C．5a万元D．6a万元6．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为__________m．(精确到1m) 7．如图，已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,5)，则点P到椭圆的最大距离及最小距离的和是__________． 参考答案1．C　(数形结合)由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a＝4，所以选C.2．A　在双曲线－＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10.由P是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝16.∴|PF2|＝1，或|PF2|＝33.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，得|PF2|＝33.3．B　建立如图所示的坐标系，设y2＝2px(p＞0)，由题意，得点A(40,30)在抛物线上，代入，得p＝11.25.故|OF|＝＝5.625(cm)，故光源到反光镜顶点的距离即为5.625(cm)．4．A　设玻璃球的球心O′(0，r)，O(x，y)为抛物线上一点，则|OO′|＝＝＝.∵y≥0，∴当y＝0时，|OO′|为最小，故r－1≤0，∴0＜r≤1.5．C　建立如图所示的直角坐标系，连接AB，分别过点M，B，A作直线MM′⊥l，BB′⊥l，AA′⊥l，垂足分别为M′，B′，A′，过点B作BB1⊥AA′，垂足为B1.由已知，可得|AB1|＝|AB|·cos30° ＝＝3(km)．又|AA′|＝2km，可得|BB′|＝3＋2＝5(km)．由抛物线的定义，可得|AM|＝|MM′|.∴修路费用为(|AM|＋|MB|)a＝(|MM′|＋|MB|)a≥|BB′|a＝5a(万元)，故选C.6．5　如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，依题意，有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝，故得抛物线的方程为x2＝－y.又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线的方程，得x＝，即|AB|＝，则水池的半径应为|AB|＋1＝＋1.因此所求水池的直径为2(1＋)，约为5m，即水池的直径至少应设计为5m.7．2(1＋)　解析一：∵02＋2×52＜98，∴点P(0,5)在椭圆内部．设以P(0,5)为圆心和椭圆相切的圆的方程为x2＋(y－5)2＝r2.①把椭圆方程x2＋2y2＝98代入①，得r2＝－(y＋5)2＋148(－7≤y≤7)．∴当y＝－5时，rmax2＝148，即rmax＝2，当y＝7时，rmin2＝4，即rmin＝2.故点P到椭圆的最大距离为2，最小距离为2.∴其和为2(1＋)．解析二：设点M(x，y)为椭圆上任一点，则x2＋2y2＝98，可得|PM|＝＝＝＝.又∵－7≤y≤7，∴y＝－5时，有|PM|max＝＝2，y＝7时，有|PM|min＝＝2.故点P到椭圆的最大距离为2，最小距离为2.其和为2(1＋)．