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湘教版选修1-1同步练习2.3.1 抛物线的定义与标准方程
湘教版选修1-1同步练习2.3.1 抛物线的定义与标准方程
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1.已知5=|3x+4y-12|是动点M所满足的坐标方程,则动点M的轨迹是( ).A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对2.在抛物线y2=2px上,且横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( ).A.0.5B.1C.2D.43.抛物线y=4x2上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为( ).A.B.C.D.04.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( ).A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x5.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是( ).A.B.C.D.36.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.7.抛物线的焦点F在x轴上,点A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5,则抛物线的标准方程为__________.8.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是__________.9.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两条直线,分别交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数. 参考答案1.C 由题意得=,即动点M到直线3x+4y-12=0的距离等于它到原点(0,0)的距离.由抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.2.C 解析:由题意,得4+=5.∴p=2.3.B 设点M(x,y),把抛物线的方程化为x2=y,则有|MF|=y+=y+=1,∴y=.4.B y2=ax的焦点坐标为(,0),则过焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-),令x=0,得y=-.∴×·=4,∴a2=64,∴a=±8.5.A 设直线4x+3y+m=0与抛物线y=-x2相切,则由消去y,得3x2-4x-m=0,令Δ=0,得m=-.∴直线4x+3y-8=0与直线4x+3y+m=0间的距离d==.即所求的最小距离为.6.y2=16x 双曲线的右顶点为(4,0),设抛物线方程为y2=2px,(p>0),则=4,∴p=8.故y2=16x.7.y2=±2x或y2=±18x 设抛物线的标准方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).∵A点在抛物线上, ∴(-3)2=2pm或(-3)2=-2pm.∴m=±.①又|AF|=+|m|=5,②把①代入②可得+=5,即p2-10p+9=0.∴p=1或p=9.∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.8.+=1(y≠0) 设抛物线的焦点为F(x,y),如图,A,B到准线的距离为|AA′|,|BB′|,点F在与切线垂直的直线上(过切点),四边形AA′B′B为梯形,∴|AA′|+|BB′|=2r=4.又由抛物线的定义,得|FA|=|AA′|,|FB|=|BB′|,则|FA|+|FB|=4,故点F在以A,B为焦点的椭圆上,且2a=4,c=1,∴b2=a2-c2=3,故焦点的轨迹方程为+=1(y≠0).9.解:(1)令y=,则x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线的定义得,所求距离为-(-)=.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.由y=2px1,y=2px0,相减得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0).∴kPA==(x1≠x0). 同理可得kPB=(x2≠x0).由PA,PB的倾斜角互补,知kPA=-kPB,即=-.∴y1+y2=-2y0,故=-2.证明:设直线AB的斜率为kAB,由y=2px1,y=2px2,相减可得kAB==(x1≠x2).将y1+y2=-2y0(y0>0)代入,得kAB==-(p>0,y0>0).∴kAB是非零常数,即直线AB的斜率是非零常数.
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高中 - 数学
发布时间:2023-03-24 16:25:07
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