湘教版选修1-1同步练习1.2.2 全称量词和存在量词

1．命题“存在x0∈R,≤0”的否定是(　　)．A．不存在x0∈R,＞0B．存在x0∈R,≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x＞02．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则(　　)．A．p：∃x∈R，sinx≥1B．p：∀x∈R，sinx≥1C．p：∃x∈R，sinx＞1D．p：∀x∈R，sinx＞13．下列四个命题中，为真命题的是(　　)．A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2＜nD．∀n∈R，n2＜n4．下列命题中真命题的个数为(　　)．①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1B．2C．3D．05．在下列命题中假命题的个数是(　　)．①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．A．0B．1C．2D．36．下列命题：①∀α∈R，在[α，α＋π]上，函数y＝sinx都能取到最大值1；②若∃a∈R且a≠0，f(x＋a)＝－f(x)对∀x∈R成立，则f(x)为周期函数；③∃x∈(－，－)，使sinx＜cosx.其中真命题的序号为__________．7．设命题p：∃x∈R，满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，命题q：∃x∈R，满足x2－ x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q的必要而不充分条件，则a的取值范围是__________．8．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)f(0)的值是__________；(2)当f(x)＋2＜logax，x∈(0，)恒成立时，a的取值范围是__________．9．判断下列命题的真假．(1)每个指数函数都是单调函数；(2)任何实数都有算术平方根；(3)∀x∈Z,5x＋3是整数；(4)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0；(5)存在两个相交平面垂直于同一条直线．10．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：对所有的正实数m，为正数，且＜m；(2)q：存在实数x，使得|x＋1|≤1或x2＞4. 参考答案1．D　命题的否定是“对任意的x∈R,2x＞0”．2．C3．B　当0＜n＜1时，n2＜n，故选项A错．取m＝1，则n＞1，与∀n∈R矛盾，故选项C错．当n＞1时，n2＞n，故选项D错．∃n＝1，∀m∈R，m·n＝m，故选B.4．C　用偶数的定义判断①正确；用角平分线的性质判断②正确；用正四面体的概念及二面角的定义判断③正确．5．A　①如π为实数，是无限不循环小数，故①是真命题，同理②③均为真命题．6．②　①取α＝，在区间[，]上，函数y＝sinx的最大值不是1，而是，故①为假命题．②∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2a(a≠0)，故②为真命题．③在(－，－)上由三角函数线易知，有sinx＞cosx，故③为假命题．7．(－∞，－4]∪[－，0)　p：(x－3a)(x－a)＜0，又a＜0，∴3a＜x＜a.q：(x－3)(x＋2)≤0或(x＋4)(x－2)＞0，∴x≥－2或x＜－4.∵p是q的必要而不充分条件，∴q是p的必要而不充分条件．令A＝{x|3a＜x＜a}，B＝{x|x≥－2或x＜－4}，则AB.∴a≤－4或3a≥－2，∴a≤－4或－≤a＜0.8．(1)－2　(2)[，1)　(1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x对∀x，y∈R恒成立，可令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.(2)由(1)知f(0)＝－2，所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x.因为x∈(0，)，所以f(x)＋2∈(0，)． 要使x∈(0，)时，f(x)＋2＜logax恒成立，显然当a＞1时不成立(因为x∈(0，)，a∈(1，＋∞)时，logax＜0)，所以解得≤a＜1.9．解：(1)形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函数是指数函数．a＞1时，y＝ax是增函数，0＜a＜1时，y＝ax是减函数，所以命题“每个指数函数都是单调函数”是真命题；(2)－2是实数，但－2没有算术平方根，所以命题“任何实数都有算术平方根”是假命题．(3)∀x∈Z,5x＋3都是整数，所以命题“∀x∈Z,5x＋3是整数”是真命题．(4)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以命题“∃x∈R，x2＋2x＋3＝0”为假命题．(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题．10．解：(1)p：存在正实数m，≤0或≥m.由于该命题不易判断真假，所以先判断原命题的真假，显然原命题是假命题．如m＝，则＝，＞，即＞m，故该命题为真命题．(2)q：对∀x∈R，都有|x＋1|＞1且x2≤4.由于x＝－1∈R，但|－1＋1|＝0＜1，所以q是假命题．