苏教版必修第一册课件2.3 全称量词命题与存在量词命题

第2章2.3.1全称量词命题与存在量词命题2.3.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课标要求1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1全称量词与全称量词命题1.全称量词等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词,通常用符号“”表示“对任意x”.2.全称量词命题含有的命题称为全称量词命题,它的一般形式可表示为:∀x∈M,p(x),其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.“所有”“任意”“每一个”∀x全称量词 名师点睛常见的全称量词还有“一切”“任给”等.由于全称量词不同,因此,同一个命题的不同表述形式如下:命题全称量词命题“∀x∈M,p(x)”表述形式①对所有的x∈M,都有p(x)成立;②对一切x∈M,都有p(x)成立;③对每一个x∈M,都有p(x)成立;④任选一个x∈M,都有p(x)成立;⑤凡是x∈M,都有p(x)成立. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.()(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题.()(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题.()(4)“∀x∈R,x2+1>0”是真命题.()√√×√ 2.下列命题是全称量词命题的是(填序号).①每个四边形的内角和都是360°;②任何实数都有算术平方根;③∀x∈Z,2x+1是整数;④存在一个x∈R,使2x+1=3.①②③ 知识点2存在量词与存在量词命题1.存在量词等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词,通常用符号“”表示“存在x”.2.存在量词命题含有的命题称为存在量词命题,它的一般形式可表示为:∃x∈M,p(x),其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.“存在”“有的”“有一个”∃x存在量词 名师点睛常见的存在量词还有“有些”“对某些”等.由于存在量词不同,因此,同一个命题的不同表述形式如下:命题存在量词命题“∃x∈M,p(x)”表述形式①存在x∈M,使p(x)成立;②至少有一个x∈M,使p(x)成立;③对有些x∈M,使p(x)成立;④对某些x∈M,使p(x)成立;⑤有一个x∈M,使p(x)成立 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题.()(2)命题“存在一个菱形,它的四条边不相等”是存在量词命题.()(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题.()×√√ 2.下列命题是真命题的是()A.∀x∈R,x>0B.∃x∈R,x2+2x+3=0C.有的三角形是正三角形D.每一个四边形都有外接圆答案C解析对A,∀x∈R,x>0显然不正确;对B,∃x∈R,x2+2x+3=0,因为Δ<0,所以方程无解,命题不正确;对C,有的三角形是正三角形,显然正确;对D,每一个四边形都有外接圆,显然不正确.故选C. 3.下列语句是存在量词命题的是(填序号).①任意一个自然数都是正整数;②存在整数n,使n能被11整除;③若3x-7=0,则x=;④有些函数为奇函数.②④ 知识点3含有一个量词的命题的否定注意“量词”需要相应变换一般地,“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x∈M,¬p(x)”,“∃x∈M,p(x)”的否定为“∀x∈M,¬p(x)”.其中,“¬p(x)”是对语句“p(x)”的否定. 名师点睛常见关键词及其否定形式关键词否定词等于不等于能不能至少有一个一个都没有都是不都是没有至少有一个大于不大于小于不小于至多有一个至少有两个关键词否定词是不是属于不属于 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)命题“∀x∈R,x2-1≥-1”的否定是全称量词命题.()(2)若命题¬p是存在量词命题,则命题p是全称量词命题.()(3)“∃x∈M,p(x)”与“∀x∈M,¬p(x)”的真假性相反.()(4)“任意x∈R,x2<0”的否定为“∃x∈R,x2≥0”.()×√√√ 2.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为()A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°B3.命题“∀x∈R,x2-x+3>0”的否定是.4.命题“∃x∈R,x2+1<0”的否定是.∃x∈R,x2-x+3≤0∀x∈R,x2+1≥0 重难探究•能力素养全提升 探究点一全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断【例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)平面内,凸多边形的外角和等于360°;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(3)∀x∈N,x2>0.解(1)可以改写为“平面内,所有凸多边形的外角和都等于360°”,故是全称量词命题,是真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,是真命题.(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称量词命题,是假命题. 规律方法1.判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[注意]全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略. 2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题,也就是我们通常所说的“举反例”.(2)要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题就是假命题. 变式训练1以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A.锐角三角形的内角是锐角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使>2答案B解析A中,锐角三角形的内角是锐角是全称量词命题;B中,x=0时,x2=0,所以 探究点二全称量词命题与存在量词命题的否定【例2】(1)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是()A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x(2)写出下列命题的否定,并判断其真假:①p:∀x∈R,x2-x+≥0;②p:所有的正方形都是菱形;③p:至少有一个实数x,使x3+1=0. (1)答案D解析原命题的否定为“∃x∈R,x2=x”,故选D.②至少存在一个正方形不是菱形,假命题.③∀x∈R,x3+1≠0,假命题.因为x=-1时,x3+1=0. 规律方法对全称量词命题和存在量词命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型:是全称量词命题还是存在量词命题.(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.(3)否定结论:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. 变式训练2写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)q:某些平行四边形是菱形;(2)r:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(3)t:∃x∈R,x2+2x+2≤0.解(1)命题q的否定是“任意平行四边形都不是菱形”,假命题;(2)命题r的否定是“存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根”.当Δ=1+4m<0时,即当m<-时,方程x2+x-m=0没有实数根,命题r的否定为真命题;(3)命题t的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”.因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0,命题t的否定为真命题. 探究点三由全称(存在)量词命题的真假确定参数的范围【例3】已知命题p:∃x∈[-,+∞),2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.解因为p为真命题,即方程2x+2-a=0在[-,+∞)上有实根,所以a=2x+2≥2×(-)+2=1,即a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞). 变式探究将本例中的条件“∃x∈[-,+∞),2x+2-a=0”改为“∀x∈[-,+∞),2x+2-a>0”,其他条件不变,求实数a的取值范围.解因为∀x∈[-,+∞),2x+2-a>0为真命题,则2×(-)+2-a>0,解得a<1.所以实数a的取值范围为(-∞,1). 规律方法应用全称(存在)量词命题求参数范围的两类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解,也可以根据函数等数学知识来解决.(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设. 变式训练3命题“∀x∈(0,+∞),x2-2x-m≥0”为真命题,则实数m的最大值为.答案-1解析命题“∀x∈(0,+∞),x2-2x-m≥0”为真命题,等价于“∀x∈(0,+∞),m≤x2-2x”恒成立,设f(x)=x2-2x,x∈(0,+∞),所以f(x)≥f(1)=-1,所以m≤-1,即实数m的最大值为-1. 本节要点归纳1.知识清单:(1)全称量词命题、存在量词命题的概念及真假判断;(2)全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断;(3)由全称(存在)量词命题的真假求参数范围.2.方法归纳:化归思想的应用.3.常见误区:(1)否定形式不唯一.(2)命题与其否定的真假性相反. 学以致用•随堂检测全达标 1.设命题p:∀x∈[0,1],都有x2-1≤0.则命题p的否定为()A.∃x∈[0,1],使x2-1≤0B.∀x∈[0,1],使x2-1≥0C.∃x∈[0,1],使x2-1>0D.∀x∈[0,1],使x2-1>0答案C解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题,命题p:∀x∈[0,1],都有x2-1≤0的否定为∃x∈[0,1],使x2-1>0.故选C. 2.命题p:∃x∈R,3x<2的否定是()A.∃x∈R,3x≥2B.∃x∈R,3x>2C.∀x∈R,3x≥2D.∀x∈R,3x>2答案C解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题p:∃x∈R,3x<2的否定是∀x∈R,3x≥2.故选C. 3.下列命题为真命题的是()A.∃x∈Z,1<4x<3B.∃x∈Z,15x+1=0C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+x+2>0答案D 4.命题p:∃x∈R,x2+2x+5<0是(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),命题p是(填“真”或“假”)命题,命题p的否定为.答案存在量词命题假∀x∈R,x2+2x+5≥0解析命题p:∃x∈R,x2+2x+5<0是存在量词命题.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,所以命题p为假命题.命题p的否定为∀x∈R,x2+2x+5≥0. 5.已知命题:“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是.答案[-8,+∞)解析当x∈[1,2]时,x2+2x=(x+1)2-1单调递增,所以3≤x2+2x≤8,由题意可得a+8≥0,解得a≥-8. 6.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.(1)对某些实数x,有2x+1>0;(2)∀x∈{3,5,7},3x+1是偶数;(3)∃x∈Q,x2=3.解(1)命题中含有存在量词“某些”,因此是存在量词命题,真命题.(2)命题中含有全称量词的符号“∀”,因此是全称量词命题.把3,5,7分别代入3x+1,得10,16,22,都是偶数,因此,该命题是真命题.(3)命题中含有存在量词的符号“∃”,因此是存在量词命题.由于使x2=3成立的实数只有±,且它们都不是有理数,故没有一个有理数的平方等于3,所以该命题是假命题. 本课结束