第一章集合与常用逻辑用语5全称量词与存在量词训练（附解析新人教A版必修第一册）

全称量词与存在量词A级——基础过关练1．下列结论正确的个数是(　　)①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则綈p：∀x∈R，x2＋4x＋4＞0.A．0B．1C．2D．3【答案】C　【解析】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，①错误；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，②正确；③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则綈p：∀x∈R，x2＋4x＋4＞0，③正确．故选C．2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2【答案】B　【解析】A是全称量词命题；B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确；因为＋(－)＝0，所以C为假命题；对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B．3．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为(　　)A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2D．∃x∈N，x3≤x2【答案】D　【解析】命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，所以綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D．4．(多选)下列四个命题中，是真命题的为(　　)A．∀x∈R,2x2－3x＋4>0B．∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0C．∃x0∈N，使x≤x0D．∃x0∈N*，使x0为29的约数【答案】ACD　【解析】对于A，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故A为真命题；对于B，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x4 ＋1>0不成立，故B为假命题；对于C，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故C为真命题；对于D，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以D为真命题．5．下列命题为真命题的是(　　)A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数【答案】C　【解析】A中，x－2＝0⇔x＝∉Q，故A错误；B中，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B错误；C中，因为2＝1×2，故C正确；D中，2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C．6．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【答案】①②③　④　【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．7．若命题“∃x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________________．【答案】{a|－1≤a≤3}　【解析】由题意知∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.8．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2<0;③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④　【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．4 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．B级——能力提升练10．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　)A．∀x∈R，|x|>0B．∃x∈R，|x|>0C．∀x∈R，|x|≤0D．∃x∈R，|x|≤0【答案】C　【解析】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是“任意实数的绝对值都不是正数”，所以选C．11．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　)A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A　【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”．故选A．12．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)A．{a|a<－1}B．{a|a≥1}C．{a|a>1}D．{a|a≤－1}【答案】B　【解析】因为p为假命题，所以綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.故选B．13．下列命题：①存在x<0，x2－2x－3＝0；②对一切实数x<0，都有|x|>x；③∀x∈R，＝x.其中，真命题的序号为________．【答案】①②　【解析】因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或x＝3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③＝|x|＝故③为假命题．14．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．解：(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．(2)命题的否定：∃x∈R,5x－12≠0.真命题．(3)命题的否定：∃x∈R，x2＋3≥0.真命题．4 (4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．C级——探究创新练15．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果命题p是真命题，求实数a的取值范围．解：命题“∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0”是真命题，①当a＝0时，不等式为2x＋3＞0，显然不成立，不符合题意；②当a≠0时，二次函数y＝ax2＋2x＋3大于0，所以解得a＞.综上所述，实数a的取值范围是.4