湘教版选修1-1同步练习1.1.3 充分条件和必要条件

1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“x＞0”是“x≠0”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是__________．7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则使方程有两个大于1的实根的充要条件是__________．8．使函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充分不必要条件为__________．9．已知数列{an}的前n项和Sn＝aqn＋b(a≠0，q≠0，q≠1)，求证：数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是a＋b＝0.10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． 参考答案1．A　当x＝1时，必有x3＝x，但当x3＝x时，x∈{0,1，－1}．故选A.2．B　由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要而不充分条件．3．A　由“x＞0”可知“x≠0”，故为充分条件；但“x≠0”时可以有x＞0或x＜0，故为不必要条件，故选A.4．C　根据数量积的运算律，有a·b＝a·c⇔a·b－a·c＝0⇔a·(b－c)＝0⇔a⊥(b－c)，故选C.5．D　方法一：a2＞b2⇔(a＋b)(a－b)＞0，a＞b⇔a－b＞0，所以a2＞b2a＞b，且a＞ba2＞b2，故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．方法二：(特值法)取a＝－1，b＝0满足a2＞b2，但a＜b，又取a＝0，b＝－1，满足a＞b，但a2＜b2，故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D.6．(0,3]　解不等式|1－|≤2，得{x|－2≤x≤10}．解不等式x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．即条件p：A＝{x|－2≤x≤10}，条件q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．“p是q的充分而不必要条件”等价于“q是p的充分而不必要条件”，∴BA.∴1－m≥－2，且1＋m≤10(注意：两式不能同时取等号)，解得m≤3.又m＞0，所以所求的m的取值范围为{m|0＜m≤3}．7．k＜－2　设方程的两实根为x1，x2，使x1，x2都大于1的充要条件是即由韦达定理，得解得k＜－2.所以所求的充要条件为k＜－2.8．a≤0　由函数f(x)＝|x－a|的图象知，函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充要条件为a≤1，所以使“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a≤1”成立的充分不必要条件，即填写形如a≤p，且p＜1即可．答案不唯一． 9．证明：充分性：即证a＋b＝0⇒数列{an}是公比为q的等比数列．∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a.∴an＝Sn－Sn－1＝(aqn－a)－(aqn－1－a)＝a(q－1)qn－1(n＞1)．∴＝＝q(n＞1)．又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴＝＝q.∴数列{an}是公比为q的等比数列．必要性：即证数列{an}是公比为q的等比数列⇒a＋b＝0.∵数列{an}是公比为q的等比数列，∴Sn＝＝－qn.又∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－，b＝.∴a＋b＝0.综上可得，数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是a＋b＝0.10．解：(1)a＝0时适合．(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足解得0＜a≤1.综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.