高考数学总复习：命题及其关系充分条件与必要条件

第二讲命题及其关系､充分条件与必要条件回归课本1.命题(1)一般地,我们把用语言､符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.(2)“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.(3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为若q则p,它的否命题为若¬p则¬q,它的逆否命题为若¬q则¬p.(4)互为逆否的命题是等价的,它们同真同假,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为0､2､4个.(5)否命题与命题的否定的区别:首先,只有“若p则q”形式的命题才有否命题,其形式为“若p则q.”其他形式的命题只有“否定”,而没有否命题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.2.充要条件(1)“若p则q”为真命题是指由p通过推理可以得出q,这时我们就说由p可以推出q,记作pq,并说p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若既有pq又由qp,则p是q的充分必要条件,记作pq.(3)从集合的角度认识充分条件､必要条件.设A､B为两个集合,A={x|p(x)},B={x|q(x)}则①若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;②若BA,则p是q的必要条件;③若A=B,则p是q的充要条件.()4q“p”“pq”“;pq”“qp”.3.反证法证明命题的一般步骤(1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定假设错误,肯定结论成立.反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.考点陪练1.p若是q的充分条件,r是q的必要条件,则A.prB.rpC.prD.pr解析:p是q的充分条件,pq,qp.r是q的必要条件,qr,rq,又qp,rp,选B.答案:B2.“m>2”是“方程x2-mx+m+3=0的两根都大于1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件解析:设方程有两根x,x,则0且xxm,xxm3.121212x1,xx2,m2,112(1)m2;x1,xx1,m31,2122又≥0,即:m4m120;≥解之得m6或m≤2;综上可知m≥6.(2)m>2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m>2不能推出x>1且x>1.12由(1)(2)知m>2是方程的两根都大于1的必要不充分条件.答案:B3.(2010·陕西)对于数列{a},“a>|a|(n=1,2,„)”是nn+1n“{a}为递增数列”的()nA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为a>|a|a>a{a}为递增数列,但{a}为递增n+1nn+1nnn数列a>a推不出a>|a|,故“a>|a|(n=1,2,„)”n+1nn+1nn+1n是“{a}为递增数列”的充分不必要条件,选B.n答案:B4.(2010·山东)设{a}是等比数列,则“a<a<a”是“数列n123{a}是递增数列”的()na.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件解析:由题可知,若a1<a2<a3,即a11aq,aq1aq12当a>0时,解得q>1,此时数列{a}是递增数列,当a<0时,解得1n10<q<1,此时数列{a}是递增数列;反之,若数列{a}是递增nn数列,则a<a<a成立,所以“a<a<a”是“数列{a}是递123123n增数列”的充分必要条件,故选c.答案:c5.(2010·深圳模拟题)若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,则q是r的()a.逆命题b.否命题c.逆否命题d.以上结论都不对解析:设p为a⇒b,则q为b⇒a,r为¬a⇒¬b.∴q是r的逆否命题.答案:c类型一判断命题及其真假解题准备:1.判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念.2.判断命题的真假,首先分清命题的条件和结论,直接判断.如果不易直接判断,可根据互为逆否命题的等价关系来判断.【典例1】(反例法)有下列四个命题:(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;(2)“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;(3)“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题;(4)“若ab是无理数,则a､b是无理数”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[解](1)逆命题为“若x､y互为相反数,则x+y=0”是真命题.(2)∵原命题为假,∴其逆否命题为假.(3)否命题为“若x>-3,则x2+x-6≤0”,假如x=4>-3,但x2+x-6=14>0,故为假.(4)逆命题“若a､b是无理数,则ab也是无理数”,假如2则ab=2是有理数.故为假.ab(2),2,[答案]B[反思感悟]判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需证明.类型二四种命题及其关系解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:①当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;②原命题､逆命题､否命题､逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个､2个､4个.【典例2】分别写出下列命题的逆命题､否命题､逆否命题､命题的否定,并判断它们的真假:(1)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若xy=0,则x=0或y=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为0.[解](1)原命题是真命题;逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q≤1,为真命题;否命题:若q>1,则方程x2+2x+q=0无实根,为真命题;逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q>1,为真命题;命题的否定:若q≤1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题.(2)原命题为真命题;逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题;否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0,是真命题;逆否命题:若x≠0且y≠0,则xy≠0,是真命题;命题的否定:若xy=0,则x≠0且y≠0,是假命题.(3)原命题为真命题.逆命题:若x、y全为0,则x2+y2=0,为真命题;否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为0,为真命题;逆否命题:若x、y不全为0,则x2+y2≠0,为真命题;命题的否定:若x2+y2=0,则x、y不全为0,是假命题.[反思感悟](1)注意:①“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”､“x不是奇数y是奇数”､“x、y都不是奇数”三种情况;②“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”,而不是“x≠0或y≠0”,因为“x=0或y=0”包含“x=0且y≠0”、“x≠0且y=0”､“x=0且y=0”三种情况.(2)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.类型三充分必要条件的判定与证明解题准备:判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义:如果p⇒q,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件;如果q⇒p,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件;如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.【典例3】求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负实数根的充要条件是a≤0或a=1.[思路点拨]首先应从充分性和必要性两个方面进行证明,其次要注意对参数a的分类讨论.[证明]充分性:当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1.方程只有一负根.1当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且0a,方程有一正一负根.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根.当a=0时,适合条件.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,∴a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1.a1若方程有且仅有一负根,则1,a0.0a综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a=1.[反思感悟](1)这类证明问题需要证明充分性和必要性两个方面,因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分性,由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆;(2)涉及一元二次方程根的问题,主要利用根的判别式进行求解,同时不能忘记对x2项系数的分类讨论.[探究]是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围.[分析]“4x+p<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的p的范围.2[解]xx20的解是x2或x1,4xp由0得ppx.要想使x时x2或x1成立,必须有44pp≤1,即p4,≥所以当p4≥时,≤1x14422xx20,所以p4≥时“,4xp0”是“xx20”的充分条件.[反思感悟]本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合数轴确定p的范围.错源一判断充分必要条件时不注意设问方式【典例1】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是()A.x≥0B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3[错解]由2x2-5x-3≥0得x≥3或x≤-,当x≥3或x≤-时能推出B选项,但当B选项成立时,不一定能推出x≥3或x≤-,所以选B.[剖析]本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条件和结论而导致的.正确的理解是所选选项是2x2-5x-3≥0成立的充分不必要条件.[正解]依题意所选选项能使不等式2x2-5x-3≥0成立,但当不等式2x2-5x-3≥0成立时,却不一定能推出所选选项.由于不等式2x2-5x-3≥0的解为:x≥3或x≤-,所以应选C.[答案]C错源二四种命题的结构不明致误【典例2】写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.[剖析]解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命题､否命题､逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.[正解]逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命题;否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题;逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.[评析]四种命题的结构与等价关系如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”.这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系.技法一等价命题转化法【典例1】若p:x+y≠3,q:x≠1或y≠2.则p是q的什么条件?[解]直接判断原命题“若p,则q”的真假比较难,但它的逆否命题即“若x=1且y=2,则x+y=3”显然为真,故原命题也为真,即p⇒q.逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题“若x+y=3,则x=1且y=2”显然为假,故逆命题也为假,即q⇒p.所以p是q的充分不必要条件.[方法与技巧]当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用“原命题⇔逆否命题”,“否命题⇔逆命题”.一些否定形式的命题常用这种方法判定.技法二快速解题(列表法)【典例2】有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛,组委会只设一名特别奖.赛前观众A猜:不是1号就是2号能获特别奖;B猜:3号不可能获特别获:C猜:4､5､6号都不可能获特别奖;D猜;能获特别奖的是4､5､6号中的一个,赛后结果表明,四人中只有一人猜对了.问:谁猜对了?几号歌手获特别奖?[快解]将所猜能获奖的记为√,不能获奖记为×,由题意得下表:歌手123456观众A√√××××B√√×√√√C√√√×××D×××√√√从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3号歌手得了特别奖.[解题切入点]可由C､D所猜入手.这两人所猜是对立的,但D与B不能都对,因此,可以C猜对为前提进行推证.[分析思维过程]可以明显看出C､D所猜是对立的.若C猜对了,则B､D都没猜对.再看A,A猜1号或2号,因为只有一个猜对,就不可能是1号或2号,只能是3号.如果是3号获特别奖,那么A､B､D都没有猜对,只有C猜对了.[解]将A､B､C､D四人猜的结果分别记为命题P､P､P､P,ABCD则P与P必一真一假.若P为真,则P也真,不合题意,则PCDDBC应为真.由题意,则P必为假.当P假时,只有3号能获特别奖.AA此时再看P､P､P､P四命题,只有P是真的,符合题意.故ABCDCC猜对了,3号获得特别奖.[得分主要步骤]本题主要是入手抓住C､D所猜结果对立,必有一人猜对.假设其中一人是对的,若推下去不合题意,则另一人必对,于是思路清晰,结果渐趋明朗.[易丢分原因]如果切入点抓不准,则解答起来很乱,无头绪,当然花费时间也较多,也难以得分.比较以上两种解法,前者显然比后者优越得多.</q<1,此时数列{a}是递增数列;反之,若数列{a}是递增nn数列,则a<a<a成立,所以“a<a<a”是“数列{a}是递123123n增数列”的充分必要条件,故选c.答案:c5.(2010·深圳模拟题)若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,则q是r的()a.逆命题b.否命题c.逆否命题d.以上结论都不对解析:设p为a⇒b,则q为b⇒a,r为¬a⇒¬b.∴q是r的逆否命题.答案:c类型一判断命题及其真假解题准备:1.判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念.2.判断命题的真假,首先分清命题的条件和结论,直接判断.如果不易直接判断,可根据互为逆否命题的等价关系来判断.【典例1】(反例法)有下列四个命题:(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;(2)“若a></a<a”是“数列n123{a}是递增数列”的()na.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件解析:由题可知,若a1<a2<a3,即a11aq,aq1aq12当a>