湘教版选修1-1同步练习2.1.1 椭圆的定义与标准方程

1．椭圆x2＋＝1的一个焦点是(0，)，那么k等于(　　)．A．－6B．6C．＋1D．1－2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)．A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)3．方程＋＝10化简的结果是(　　)．A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝14．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)．A．(±4,0)B．(0，±4)C．(±3,0)D．(0，±3)5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)．A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________，∠F1PF2的大小为__________．8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________．9．已知A，B两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为m(m＜0)，求点M的轨迹方程并判断其轨迹的形状．10．求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程． 参考答案1．B　由焦点坐标为(0，)，知焦点在y轴上，∴k－1＝()2.∴k＝6.2．D　∵x2＋ky2＝2，∴＋＝1.∵焦点在y轴上，∴∴0＜k＜1.3．B　此题可从椭圆的定义入手．方程表示动点(x，y)到(2,0)与(－2,0)的距离之和等于10，且10大于两定点的距离4，故该动点(x，y)的轨迹为椭圆．∴2a＝10，即a＝5.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝21.∴方程为＋＝1.4．D　根据椭圆的方程形式，知椭圆的焦点在y轴上，且c＝＝3.故焦点坐标为(0，±3)．5．A　不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，P(x，y)，由题意，知＝0，即x＝3，代入椭圆方程，得y＝±，故P点坐标为(3，±)，即|PF2|＝.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|＝，即|PF1|＝7|PF2|.6．8　由椭圆的定义知(|BF1|＋|BF2|)＋(|AF1|＋|AF2|)＝4a＝20.又∵|AB|＝|AF1|＋|BF1|，|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＋12＝20.∴|AB|＝8.7．2　120°　解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2. 在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，∴∠F1PF2＝120°.8．＋＝1　设动圆M和定圆B内切于点C，动圆圆心M到定点A(－3,0)，定圆B的圆心B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径长，即|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8.所以动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，并且2a＝8,2c＝6，所以b＝＝.所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.9．解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－1,0)，所以直线AM的斜率为kAM＝(x≠－1)．同理，直线BM的斜率为kBM＝(x≠1)．由已知，有×＝m(x≠±1)，化简得点M的轨迹方程为x2＋＝1(x≠±1)．当m＝－1时，M的轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1)，M的轨迹是单位圆去掉两个点(±1,0)．当－1＜m＜0时，M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点(±1,0)．当m＜－1时，M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点(±1,0)．10．解法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意，有 解得因为a＜b，所以方程无解．故所求椭圆的标准方程为＋＝1.解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.