苏教版必修第一册课后习题7.3.3 第1课时 函数y=Asin(ωx φ)的图象

第7章三角函数7.3　三角函数的图象与性质7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ)第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象1.若函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到y=f(x)的图象,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.f(x)=cos2xB.f(x)=sin2xC.f(x)=-cos2xD.f(x)=-sin2x答案A解析依题意得f(x)=sin2x+π4=sin2x+π2=cos2x.故选A.2.函数y=sin2x-π3在区间-π2,π上的简图是(　　)答案A解析当x=0时,y=sin-π3=-32<0,故可排除B,D;当x=π6时,sin2×π6-π3=sin0=0,排除C.故选A.3.把函数y=sin2x-π4的图象向右平移π8个单位长度,所得图象对应的函数是(　　)A.既不是奇函数也不是偶函数 B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数答案D解析y=sin2x-π4图象向右平移π8个单位长度得到y=sin2x-π8-π4=sin2x-π2=-cos2x的图象,则y=-cos2x是偶函数.4.将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点3π4,0,则ω的最小值是(　　)A.13B.1C.53D.2答案D解析函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f(x)=sinωx-π4(ω>0),将3π4,0代入得sinωπ2=0,所以ωπ2=kπ(k∈Z),故得ω的最小值是2.故选D.5.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sinx-π6的图象,则φ=　　　　　. 答案11π6解析平移后函数的解析式为y=sin(x+φ),依题意可得φ=2kπ-π6,k∈Z,又0≤φ<2π,所以φ=11π6.6.利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象时,其五点的坐标分别为-π16,13,3π16,0,7π16,-13,11π16,0,15π16,13,则A=　　　　　,最小正周期T=　　　　　. 答案13　π解析由题知A=13,T=21116π-316π=π. 7.作出函数y=2sin2x-π3的图象,并指出该函数的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到?解列表如下:2x-π30π2π3π22πxπ65π122π311π127π6y=2sin2x-π3020-20描点,连线得函数y=2sin2x-π3在一个周期内的图象.再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度,即可得函数y=2sin2x-π3的图象.首先将函数y=sinx的图象向右平移π3个单位长度得到函数y=sinx-π3的图象,然后将该图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的12倍,得到函数y=sin2x-π3的图象;最后将该图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,即可得到函数y=2sin2x-π3的图象.8.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平移π10个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(　　)A.y=sin2x-π10B.y=sin2x-π5C.y=sin12x-π10D.y=sin12x-π20答案C 解析函数y=sinx的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y=sinx-π10的图象;横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin12x-π10的图象,所以所求函数的解析式是y=sin12x-π10.9.将函数y=sin2x的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数(　　)A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案A解析y=sin2x的图象向右平移π2个单位长度得到函数y=sin2x-π2=sin(2x-π)=-sin(π-2x)=-sin2x的图象.因为-sin(-2x)=sin2x,所以是奇函数.10.将函数y=2cos2x的图象向右平移π2个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),得到的图象对应的函数解析式为(　　)A.y=cos2xB.y=-2cosxC.y=-2sin4xD.y=-2cos4x答案D解析将函数y=2cos2x的图象向右平移π2个单位长度,可得函数y=2cos2x-π2=2cos(2x-π)=-2cos2x的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),得到函数y=-2cos4x的图象,故选D.11.为了得到函数y=2sinx3+π6,x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点(　　)A.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B.向右平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) C.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案C解析先将y=2sinx,x∈R的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y=2sinx+π6,x∈R的图象,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=2sinx3+π6,x∈R的图象.12设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于(　　)A.13B.3C.6D.9答案C解析将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到y=cosωx-π3,所得图象与原图象重合,所以cosωx-π3ω=cosωx,则-π3ω=2kπ(k∈Z),得ω=-6k(k∈Z).又因为ω>0,所以ω的最小值为6,故选C.13.(多选)以下结论中正确的是(　　)A.将y=cosx的图象向右平移π2个单位长度,得到y=sinx的图象B.将y=sinx的图象向右平移2个单位长度,得到y=sin(x+2)的图象C.将y=sin(-x)的图象向左平移2个单位长度,得到y=sin(-x-2)的图象D.函数y=sin2x+π3的图象是由y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度而得到的答案AC解析A正确;B错,y=sinx的图象向右平移2个单位长度,得y=sin(x-2)的图象;C正确;D错,应向左平移π6个单位长度.14.(多选)给出几种变换:①横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变;②横坐标变为原来的12,纵坐标不变; ③向左平移π3个单位长度;④向右平移π3个单位长度;⑤向左平移π6个单位长度;⑥向右平移π6个单位长度.则由函数y=sinx的图象得到y=sin2x+π3的图象,不可以实施的方案是(　　)A.①→③B.②→③C.②→④D.②→⑤答案ABC解析y=sinx的图象y=sin2x的图象y=sin2x+π3的图象,其余选项均不可以实施.15.(多选)若把函数y=sinωx(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数y=cosωx的图象重合,则ω的值可能是(　　)A.12B.132C.32D.152答案CD解析y=sinωx向左平移π3个单位后得到y=sinωx+π3=sinωx+ω3π,它与y=cosωx重合,故ω3π=2kπ+π2(k∈Z),∴ω的值可能是32,152.16将函数y=sin2x-π4图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的　　　　　倍,将会得到函数y=3sin2x-π4的图象. 答案3解析A=3>0,故将函数y=sin2x-π4图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍即可得到函数y=3sin2x-π4的图象. 17.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则fπ6=　　　　　. 答案22解析y=sinx的图象向左平移π6个单位长度,得到y=sinx+π6的图象,再对每一点横坐标伸长为原来的2倍,得到y=sin12x+π6的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,∴f(x)=sin12x+π6,则fπ6=22.18.已知函数f(x)=3sin12x-π4,x∈R.(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期π2,9π2上的简图.(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移π2个单位长度,得到f1(x)的图象;然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到f2(x)的图象;再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的13倍(横坐标不变),得到g(x)的图象,求g(x)的解析式.解(1)先用“五点法”作出一个周期的图象,列表:xπ23π25π27π29π212x-π40π2π3π22πf(x)030-30描点画图. (2)将f(x)=3sin12x-π4图象上所有点向左平移π2个单位长度得到f1(x)=3sin12x+π2-π4=3sin12x的图象.把f1(x)=3sin12x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)=3sin14x的图象,把f2(x)=3sin14x的图象上所有点的纵坐标变为原来的13倍(横坐标不变)得到g(x)=sin14x的图象.所以g(x)的解析式g(x)=sin14x.19.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.解(1)将y=sinx的图象向左平移π6个单位长度可得y=sinx+π6的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin12x+π6的图象,故f(x)=sin12x+π6.(2)令2kπ+π2≤12x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),则4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3(k∈Z). 又x∈[0,3π],所以x∈0,2π3,f(x)为增函数,x∈2π3,8π3,f(x)为减函数,x∈8π3,3π,f(x)为增函数,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,m=12,当x=3π时,m=-32.故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈-32,12∪{-1,1}.20.某同学用“五点作图法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并写出函数f(x)的解析式;(2)将f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求θ的最小值.解(1)根据表中已知数据,可得A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx+φ0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx+φ)050-50函数解析式为f(x)=5sin2x-π6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6,则g(x)=5sin2x+2θ-π6.因为函数y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z, 令2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0成中心对称,所以令kπ2+π12-θ=5π12,k∈Z,解得θ=kπ2-π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.