苏教版必修第一册课后习题2.1 命题、定理、定义

第2章常用逻辑用语2.1　命题、定理、定义1.下列语句:①3>2;②作射线AB;③sin30°=12;④x2-1=0有一个根是-1;⑤x<1.其中是命题的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.①②③B.①③④C.③D.②⑤答案B解析②是祈使句,故不是命题,⑤中x的值不能确定,无法判断真假,故不是命题.①③④符合命题的定义,故选B.2.下列四个命题中,正确的命题是(　　)A.空集没有子集B.任何集合都有真子集C.空集的元素个数为0D.任何一个集合至少有两个不同子集答案C解析空集的子集是它本身,故A错误;空集没有真子集,故B错误;空集的元素个数为0,故C正确;空集只有一个子集,是它本身,故D错误.故选C.3.设a,b∈R,则下列命题正确的是(　　)A.若a>b,则a2>b2B.若a≠b,则a2≠b2C.若a<|b|,则a2<b2D.若a>|b|,则a2>b2答案D解析因为a=1>b=-1,a2=b2,所以A错误;因为a=1≠b=-1,a2=b2,所以B错误;因为a=-1<|b|=1,a2=b2,所以C错误;因为a>|b|>0,a2>b2,所以D正确.故选D.4.下列说法正确的是(　　) A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题答案D解析对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若两个角都是直角,则这两个角相等”,则A错误;对于B,所给语句是命题,则B错误;对于C,边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形,对角线相互垂直,但不是菱形,则C错误;对于D,当a=5时,Δ=16-4×5<0,方程x2-4x+a=0无实根,则D正确.故选D.5.命题“若实数a,b满足2a+b>5,则a>2且b>1”是　　　　　(填“真”或“假”)命题. 答案假解析当a=0,b=6时,2a+b>5,所以命题“若实数a,b满足2a+b>5,则a>2且b>1”是假命题.6.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除7.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)等底等高的两个三角形是全等三角形;(2)当ac>bc时,a>b;(3)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.解(1)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,是假命题,不符合全等三角形的条件;(2)若ac>bc,则a>b,是假命题,因为若c<0,则a<b;(3)若一个点在一个角的平分线上,则该点到这个角的两边的距离相等,是真命题.8.关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题.甲:x=1是该方程的根.乙:x=3是该方程的根.丙:该方程两根之和为2.丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是(　　)A.甲B.乙C.丙D.丁答案A 解析若甲是假命题,则乙丙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号,符合题意;若乙是假命题,则甲丙丁是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一根,由于两根之和为2,则另一根也为1,两根同号,不符合题意;若丙是假命题,则甲乙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根同号,不符合题意;若丁是假命题,则甲乙丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根之和为4,不符合题意.综上所述,甲命题为假命题.故选A.9.下列命题为真命题的是(　　)A.若P={y|y=x2},Q={x|y=x2},则P⊆QB.若集合A={(x,y)|y=x-1},B={(x,y)|y=-x2+1},则A∩B={-2,1}C.若m2=n2,则m=nD.若A∩B=⌀,则A,B至少有一个为空集答案A解析P={y|y=x2}=[0,+∞),Q={x|y=x2}=R,则P⊆Q,所以A正确;若集合A={(x,y)|y=x-1},B={(x,y)|y=-x2+1},由y=x-1,y=-x2+1,解得x=-2,y=-3或x=1,y=0,则A∩B={(-2,-3),(1,0)},所以B不正确;当m=1,n=-1时,m2=n2=1,但m≠n,所以C不正确;若A∩B=⌀,则A,B至少有一个为空集,或两个集合没有相同的元素,就满足题意,所以D不正确.故选A.10.命题“三角形中,大边对大角”,改成“若p,则q”的形式,则(　　)A.三角形中,若一边较大,则其对的角也大,真命题B.三角形中,若一边较大,则其对的角也大,假命题C.若一个平面图形是三角形,则大边对大角,真命题D.若一个平面图形是三角形,则大边对大角,假命题答案A解析命题中“三角形中”是大前提,条件应该是“大边”,结论是“对大角”,所以正确选项为A.11.下列命题是假命题的是(　　)A.若A∪B=B,则A⊆BB.若a∈A,则a∈A∪BC.若a∈A∩B,则a∈B D.若a∈A∪B,则a∈A∩B答案D解析若A∪B=B,则集合A中的元素集合B中都有,即A⊆B,故A正确;因为A∪B含有集合A中元素,由a∈A,则a∈A∪B,所以B正确;因为a∈A∩B,所以a是集合A,B的公共元素,所以a∈B,所以C正确;由a∈A∪B可知a是A中或者是B中元素,并不一定是A,B的公共元素,所以D错误.故选D.12.(多选)下列语句中,能作为命题的是(　　)A.地球上有四大洋B.-5∈ZC.π∉RD.|x+a|答案ABC解析对于A,能判断真假,是命题;对于B,能判断真假,是命题;对于C,能判断真假,是命题;对于D,不能判断真假,不是命题.故选ABC.13.(多选)给出命题:方程x2+ax+1=0没有实数根,若该命题为真命题,则a的一个值可以是(　　)A.-2B.1C.0D.2答案BC解析由方程无实数根得Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,故符合条件的值为1,0.故选BC.14.(多选对于实数a,b,c,下列命题正确的是(　　)A.若a=b,则a+c=b+cB.若a+c=b+c,则a=bC.若a=b,则ac=bcD.若ac=bc,则a=b答案ABC解析对于A,若a=b,则a+c=b+c,正确;对于B,若a+c=b+c,则a=b,正确;对于C,若a=b,则ac=bc,正确;对于D,若ac=bc,则a=b,错误,当c=0时,ac=bc,a与b不一定相等.故选ABC.15.指出下列命题的条件和结论:(1)若整数a能被2整除,则a是偶数.条件p:　　　　　　　　　　　,结论q:　　　　　　. (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直平分.条件p:　　　　　　　　　　,结论q:　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案整数a能被2整除　a是偶数　四边形是菱形　它的对角线互相垂直平分16.若“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”是真命题,则a的取值范围是　　　　.  答案aa<98,且a≠0解析由题意知Δ=(-3)2-8a>0,a≠0,解得a<98,a≠0.故a的取值范围为aa<98,且a≠0.17.判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)求证3是无理数.(2)并非所有的人都喜欢苹果.(3)x∈R,x2+4x+4≥0.解(1)祈使句,不是命题.(2)真命题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果的人.(3)真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0,对于x∈R,可以判断真假,它是命题,且是真命题.18.判断下列语句是否为命题,若是,请判断真假并改写成“若p,则q”的形式.(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?(2)三角形中,大角所对的边大于小角所对的边;(3)当x+y是有理数时,x,y都是有理数;(4)1+2+3+…+2021;(5)这盆花长得太好了!解(1)为疑问句,不是命题.(2)为命题,且为真命题,改成“若p,则q”的形式为“在△ABC中,A,B,C所对的边为a,b,c,若A>B,则a>b”.(3)为命题,且为假命题,比如1-2,1+2的和为有理数,但它们均为无理数.改成“若p,则q”的形式为“若x+y为有理数,则x,y为有理数”.(4)为一个和式,无法判断其真假,故不是命题.(5)为感叹句,无法判断真假,不是命题.