苏教版必修第二册课后习题11.1 余弦定理

第11章解三角形11.1　余弦定理1.在△ABC中,若a=13,b=3,A=60°,则c=(　　)　　　　　　　　　　　A.1B.2C.4D.6答案C解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).2.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则sinC的值为(　　)A.12B.22C.32D.33答案C解析由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=12.因为C∈(0,π),所以C=π3,sinC=32.故选C.3.(多选)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(　　)A.1B.2C.3D.4答案ACD解析若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<5,若c为最大边,则a2+b2-c2>0,即a2>3,∴a>3,故3<a<5.4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是(　　)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定答案A解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cosθ= (a+m)2+(b+m)2-(c+m)22(a+m)(b+m)=m2+2m(a+b-c)2(a+m)(b+m).因为m>0,a+b-c>0,所以cosθ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.5.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为(　　)A.322B.332C.32D.33答案B解析在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=32+42-132×3×4=12,∴A=60°.∴边AC上的高h=ABsinA=3sin60°=332.故选B.6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为　　　　　. 答案2π3解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cosC=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12,且0<C<π,∴C=2π3.7.在△ABC中,已知B=C,2b=3a,则cosA=　　　. 答案13解析由B=C,得b=c=32a.由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=32a2+32a2-a22·32a·32a=13.8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为　　　;最小角的余弦值为　　　　　. 答案30　1314解析由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos120°=(a-4)2+(a-8)2-a22(a-4)(a-8),解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为C,cosC=142+102-622×14×10=2602×14×10=1314.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的度数为　　　.  答案60°或120°解析由余弦定理,得2accosB·tanB=3ac,整理,得sinB=32,所以B=60°或120°.10.在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=1314,则最大角的余弦值是(　　)A.-15B.-16C.-17D.-18答案C解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×1314=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cosA=b2+c2-a22bc=72+32-822×7×3=-17.11在△ABC中,若c2-a2-b22ab>0,则△ABC(　　)A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形答案C解析由c2-a2-b22ab>0得-cosC>0,所以cosC<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.12.在△ABC中,若b2=ac,则B的取值范围是(　　)A.0,π3B.π3,πC.0,π6D.π6,π答案A解析cosB=a2+c2-b22ac=(a-c)2+ac2ac =(a-c)22ac+12≥12,∵0<B<π,∴B∈0,π3.13.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=7,则sin∠ABD=　　　. 答案12解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=12∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=32+22-(7)22×3×2=12,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=12,所以sin∠ABD=12.14.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为　　　. 答案3解析因为sin∠BAC=223,且AD⊥AC,所以sinπ2+∠BAD=223,所以cos∠BAD=223.在△BAD中,由余弦定理,得BD=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD =(32)2+32-2×32×3×223=3.15.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,所以a+2a-1>2a+1,a>0,2a-1>0,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cosθ=a2+(2a-1)2-(2a+1)22a(2a-1)=a(a-8)2a(2a-1)<0,解得12<a<8.综上可知实数a的取值范围是(2,8).16.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的大小;(2)求AB的长.解(1)∵cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-12,且C∈(0,π),∴C=2π3.(2)∵a,b是方程x2-23x+2=0的两根,∴a+b=23,ab=2,∴AB2=b2+a2-2abcosC=(a+b)2-ab=10,∴AB=10.