苏教版必修第二册课后习题9.2.3 向量的数量积

9.2.3　向量的数量积1.若p与q互为相反向量,且|p|=3,则p·q等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.9B.0C.-3D.-9答案D解析由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.2.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=2,则BA·BC的值等于(　　)A.-2B.2C.-22D.22答案B解析BA·BC=|BA||BC|cos∠ABC=2×2×cos45°=2.3.已知|a|=2,|b|=3,|a+b|=19,则|a-b|等于(　　)A.7B.13C.15D.17答案A解析因为|a+b|2=19,所以a2+2a·b+b2=19,所以2a·b=19-4-9=6.于是|a-b|=|a-b|2=4-6+9=7.4.已知|a|=8,|b|=4,a与b的夹角为120°,则向量b在a上的投影向量为(　　)A.14aB.-14aC.12aD.-12a答案B解析向量b在a上的投影向量为 |b|cos120°a|a|=4×-12a8=-a4.5.已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为(　　)A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析设向量a与b的夹角为θ.因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cosθ=3,所以cosθ=-12.又因为θ∈[0,π],所以θ=2π3.6.已知向量a,b方向相同,且|a|=2,|b|=4,则|2a+3b|等于(　　)A.16B.256C.8D.64答案A解析方法一　∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256,∴|2a+3b|=16.方法二　由题意知2a=b,∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16.7.设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b等于(　　)A.1B.2C.3D.5答案A解析|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,①|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,② 由①-②得4a·b=4,∴a·b=1.8.若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为(　　)A.34B.32C.1D.32答案B解析∵单位向量a,b的夹角为120°,∴a·b=|a||b|cos120°=-12,则|a-kb|2=a2-2ka·b+k2b2=1+k+k2=k+122+34≥34,可得当k=-12时,|a-kb|的最小值为32.9.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则AO·AB等于(　　)A.6B.6C.12D.18答案D解析如图,过点O作OD⊥AB于D,可知AD=12AB=3,则AO·AB=(AD+DO)·AB=AD·AB+DO·AB=3×6+0=18.10.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=　　　　　. 答案-92解析∵e1·e2=|e1||e2|cos60°=12,∴(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e12+7e1·e2-2e22=-92.11.已知a,b均为单位向量,若|a-2b|=3,则向量a与b的夹角为　　　　　.  答案π3解析由|a-2b|=3,得(a-2b)2=3,即a2+4b2-4a·b=3,设单位向量a与b的夹角为θ,则有1+4-4cosθ=3,解得cosθ=12.又θ∈[0,π],所以θ=π3.12.已知|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为60°,与b同向的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　　. 答案e解析设a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为|a|ecosθ=2×12e=e.13.已知|OA|=|OB|=1,|AB|=3,则OA·OB=　　　　　,|OA+OB|=　　　　　. 答案-12　1解析由|OA|=|OB|=1,|AB|=3,可知以向量OA,OB为邻边的平行四边形是菱形,OA,OB的夹角为2π3,∴OA·OB=|OA||OB|cos2π3=-12,|OA+OB|=(OA+OB)2=1+1-1=1.14.已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,求实数λ的值.解因为(3e1-e2)·(e1+λe2)|3e1-e2||e1+λe2|=3-λ21+λ2,所以3-λ21+λ2=12,解得λ=33.15.已知|a|=1,a·b=12,(a-b)·(a+b)=12,求:(1)a与b的夹角;(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.解(1)∵(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=12, 又|a|=1,∴|b|2=12,∴|b|=22.设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=121×22=22.∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°,∴a与b的夹角为45°.(2)|a-b|=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×12+12=22,|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×12+12=102.设a-b与a+b的夹角为α,则cosα=(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=12102×22=55.16.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案B解析因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为π3,故选B.17.在四边形ABCD中,AB·BC=0,BC=AD,则四边形ABCD是(　　)A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形答案C 解析由BC=AD,得四边形ABCD为平行四边形.由AB·BC=0,得AB⊥BC,所以四边形ABCD是矩形.18.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10N,方向与水平面成60°角,则当小车向前运动10m时,力F做的功为(　　)A.100JB.50JC.503JD.200J答案B解析由题意,根据向量数量积的定义,可得力F做的功W=F·s=10×10cos60°=50(J).19.已知|b|=3,a在b上的投影向量为12b,则a·b的值为(　　)A.3B.92C.2D.12答案B解析设a与b的夹角为θ,∵|a|cosθb|b|=12b,∴|a|cosθ1|b|=12,∴|a|cosθ=32,∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.20.下列说法正确的是(　　)A.向量a在向量b上的投影向量可表示为a·b|b|B.若a·b<0,则a与b的夹角θ的范围是π2,πC.若△ABC是等边三角形,则AB,BC的夹角为60° D.若a·b=0,则a⊥b答案B解析根据投影向量的定义,知A错误;∵a·b=|a||b|·cosθ<0,则cosθ<0,又0≤θ≤π,∴θ∈π2,π,故B正确;若△ABC是等边三角形,则AB,BC的夹角为120°,故C错误;a·b=0⇒a⊥b或a=0或b=0,故D错误.21.已知平面上三点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于(　　)A.-7B.7C.25D.-25答案D解析由题意知∠ABC=90°,∴cosC=45,cosA=35,∴原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)=-20cosC-15cosA=-20×45-15×35=-16-9=-25.22.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,12a+b·(2a-3b)=12,则b在a上的投影向量为(　　)A.14aB.2bC.2aD.22b答案A解析12a+b·(2a-3b)=a2+12a·b-3b2=|a|2+12|a||b|cos45°-3|b|2=16+2|b|-3|b|2=12,解得|b|=2或|b|=-223(舍去).故b在a上的投影向量为|b|cos45°a|a|=2×22×a4=14a.23.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于(　　)A.8B.-8C.8或-8D.6 答案A解析cosθ=a·b|a||b|=-62×5=-35,∵θ∈[0,π],∴sinθ=45.∴|a×b|=2×5×45=8.24.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为(　　)A.1B.2C.3D.5答案C解析∵|a|=2,|b|=1,∴|a-b|=(a-b)2=a2-2a·b+b2=5-2a·b,又a·b∈[-2,2],∴|a-b|∈[1,3],∴|a-b|的最大值为3.25.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是(　　)A.P1P2·P1P3B.P1P2·P1P4C.P1P2·P1P5D.P1P2·P1P6答案A解析由于P1P2⊥P1P5,故其数量积是0;P1P2与P1P6的夹角是2π3,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则P1P2·P1P3=|P1P2||P1P3|cos30°=32a2,P1P2·P1P4=|P1P2||P1P4|cos60°=a2.故选A.26.(多选)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中是真命题的有(　　)A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|答案ABC解析因为a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角),所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b且以上各步均可逆.故命题A是真命题.若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a|·|b|cosπ=-|a||b|且以上各步均可逆.故命题B是真命题.当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题C是真命题.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题D是假命题.27.(多选)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论正确的是(　　)A.e1在e2上的投影向量为e2cosθB.e12=e22C.(e1+e2)⊥(e1-e2)D.e1·e2=1答案ABC解析因为两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则|e1|=|e2|=1,则e1在e2上的投影向量为|e1|e2cosθ=e2cosθ,故A正确;e12=e22=1,故B正确;(e1+e2)·(e1-e2)=e12-e22=0,故(e1+e2)⊥(e1-e2),故C正确;e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ,故D错误.故选ABC.28.(多选)已知正三角形ABC的边长为2,设AB=2a,BC=b,则下列结论正确的是(　　)A.|a+b|=1B.a⊥b C.(4a+b)⊥bD.a·b=-1答案CD解析由题意,得|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=3,故A错误;∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确;a·b=1×2×cos120°=-1,故D正确.故选CD.29.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则AB·BC的值是　　　　　. 答案-1解析方法一　AB·BC=|AB||BC|cos(180°-∠B)=-|AB||BC|cos∠B=-|AB||BC|·|AB||BC|=-|AB|2=-1.方法二　|BA|=1,即BA为单位向量,AB·BC=-BA·BC=-|BA||BC|cos∠ABC,而|BC|cos∠ABC=|BA|,所以AB·BC=-|BA|2=-1.30.已知在△ABC中,AB=AC=4,AB·AC=8,则△ABC的形状是　　　　　,AB·BC=　　　　　. 答案等边三角形　-8解析AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=12.因为0°<∠BAC<180°, 所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形.此时AB·BC=|AB||BC|cos(180°-60°)=4×4×cos120°=-8.31.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD=　　　　　. 答案22解析由CP=3PD,得DP=14DC=14AB,AP=AD+DP=AD+14AB,BP=AP-AB=AD+14AB-AB=AD-34AB.因为AP·BP=2,所以AD+14AB·AD-34AB=2,即|AD|2-12AD·AB-316|AB|2=2.又|AD|2=25,|AB|2=64,所以AB·AD=22.32.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的实数λ的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 答案(-∞,-2-3)∪(-2+3,1)∪(1,+∞)解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-3或λ>-2+3.当λ=1时,a+λb与λa+b同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-3)∪(-2+3,1)∪(1,+∞).33.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则|a||b|=　　　　　. 答案233解析∵a⊥b,∴a·b=0.又(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,|a+2b|=a2+4a·b+4b2=a2+4b2,|a-2b|=a2-4a·b+4b2=a2+4b2,∴a2-4b2=a2+4b2a2+4b2cos120°, 化简得32a2-2b2=0,∴|a||b|=233.34.已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,求β的余弦值.解因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cosα+4=9,所以|a|=3.因为b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×cosα+1=8,所以|b|=22.又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e12-9e1·e2+2e22=9-9×1×1×13+2=8,所以cosβ=a·b|a||b|=83×22=223.35.已知|a|=5,|b|=4,(1)若a与b的夹角为θ=120°.①求a·b;②求a在b上的投影向量.(2)若a∥b,求a·b.解(1)①a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=-10.②a在b上的投影向量为|a|cosθb|b|=5×-12×b4=-58b.(2)∵a∥b,∴a与b的夹角θ=0°或180°.当θ=0°时,a·b=|a||b|cos0°=20.当θ=180°时,a·b=|a||b|cos180°=-20.36已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.解根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=12|a|2. 而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=3|a|.设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=a·(a+b)|a||a+b|=|a|2+12|a|2|a|·3|a|=32.∴θ=30°.故a与a+b的夹角为30°.37.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证:(a-b)⊥c;(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.(1)证明因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0,所以(a-b)⊥c.(2)解因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因为a·b=a·c=b·c=cos120°=-12,所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).