苏教版必修第二册课件9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示

第9章第2课时　向量数量积的坐标表示 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用. 基础落实•必备知识全过关 知识点1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).数量积两个向量的数量积等于,即a·b=x1x2+y1y2数量积的结果是一个数量,而不是向量向量垂直a⊥b⇔x1x2+y1y2=0它们对应坐标的乘积的和 过关自诊1.若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则a·b=.答案8解析a·b=4×(-1)+(-2)×(-6)=8.2.若向量a=(3,x),b=(2,-6),且a⊥b,则实数x=.答案1解析因为a⊥b,所以a·b=0,即3×2+(-6)x=0,解得x=1. 知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 过关自诊1.已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则实数x=.2.若a=(4,-3),b=(-8,-6),则a,b夹角的余弦值等于. 3.已知A(2,6),B(4,7),则=. 4.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),如何表示向量a?怎样表示|a|?5.非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是什么?提示(1)θ为锐角或零⇔x1x2+y1y2>0;(2)θ为直角⇔x1x2+y1y2=0;(3)θ为钝角或平角⇔x1x2+y1y2<0. 重难探究•能力素养全提升 探究点一数量积的坐标运算【例1】(1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)=()A.10B.-10C.3D.-3 解析(1)a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.(2)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系. 规律方法1.进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系式:(1)|a|2=a·a.(2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.2.在平面几何图形中求数量积,若根据几何图形形状易建系,可先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积. 变式训练1(1)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于()A.-1B.0C.1D.2 解析(1)因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),则(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1,故选C.(2)如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系. 探究点二平向向量的模【例2】已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1).(1)求a-2b及其模的大小;(2)若c=a-(a·b)b,求|c|. 规律方法1.求模问题一般转化为求模的平方,要灵活应用公式a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方.2.a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 答案(1)C(2)D 解析(1)∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5,∴(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50,∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.∵cosθ∈[-1,1],∴13-12cosθ∈[1,25],∴|2a-b|∈[1,5],故选D. 探究点三平向向量的夹角与垂直问题角度1向量的夹角答案D 规律方法利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(3)代入夹角公式求cosθ,并根据θ的范围确定θ的值. 变式训练3已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围. 角度2向量的垂直 规律方法利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化.若在关于三角形的问题中,未明确哪个角度是直角时,要分类讨论. 变式训练4已知a=(-3,2),b=(-1,0),若向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为()答案B解析因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2).由向量λa+b与a-2b垂直,得(λa+b)·(a-2b)=0.即(λa+b)·(a-2b)=(-3λ-1)×(-1)+2λ×2=0,整理得3λ+1+4λ=0,解得λ=. 学以致用•随堂检测全达标 1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则实数x等于()A.3B.-3答案A解析a·b=-x+6=3,故x=3. 2.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),3b+a=(5,4),则cosθ=()答案D 3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于()答案C解析∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,∴n2=3, 答案B 本课结束