湘教版必修第二册课件4.5.3 利用坐标计算数量积

1．理解掌握向量数量积的坐标表达式，会利用坐标进行数量积的运算．2．掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决向量的模、夹角、垂直等有关问题．4.5.3利用坐标计算数量积 平面向量数量积的坐标表示若u＝(x1，y1)，v＝(x2，y2)，则u·v＝_________．即两个向量的数量积等于_______________________．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量u＝(x1，y1)，v＝(x2，y2)，则u⊥v⇔_____________．自学导引1．2．x1x2＋y1y2它们对应坐标的乘积的和x1x2＋y1y2＝0 三个重要公式(1)向量模公式：设u＝(x1，y1)，则|u|＝_______．(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝______________________．(3)向量的夹角公式：设两非零向量u＝(x1，y1)，v＝(x2，y2)，则cos〈u，v〉＝＝.3． 自主探究 已知a＝(－3，1)，b＝(2，－4)，则a·b＝()．A．－10B．10C．－2D．2解析a·b＝－3×2＋1×(－4)＝－10.答案A预习测评1．2.答案B 已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝()．A．1B.C．2D．43．答案C 已知a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．4． 向量的坐标运算与向量运算的区别与联系已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有：名师点睛 续表应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力． 已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．解(1)∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，∴a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.(3)法一∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，∴a2＝32＋(－1)2＝10，b2＝12＋(－2)2＝5，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5.题型一数量积的坐标运算【例1】典例剖析 法二∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，∴a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，∴(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2，1)＝4×2＋(－3)×1＝5.点评在正确理解公式a·b＝x1x2＋y1y2的基础上，熟练运用a2＝|a|2，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2，(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2及其变形，并在练习中总结经验，提高运算能力． 已知a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，求a·b；(a＋b)·(a－b)；a·(b＋c)．解∵a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，∴a·b＝2×(－2)＋3×4＝8.∴a＋b＝(2，3)＋(－2，4)＝(0，7)，a－b＝(4，－1)．∴(a＋b)·(a－b)＝0×4＋7×(－1)＝－7.∵b＋c＝(－3，2)，∴a·(b＋c)＝2×(－3)＋3×2＝0.1． 已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．题型二向量的模与夹角【例2】 已知a＝(4，－3)，b＝(2，1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．解由已知a＋tb＝(4，－3)＋t(2，1)＝(2t＋4，t－3)．∴(a＋tb)·b＝2(2t＋4)＋(t－3)＝5t＋5.2． 如图，以原点O和A(5，2)为两个顶点作等腰直角△AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．题型三向量平行与垂直问题【例3】 点评利用向量坐标运算求点的坐标，要注意把几何条件表示为坐标关系，此法与解析几何中的方法实质是一样的． 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()．3．解析不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)．由(c＋a)∥b，得2(2＋n)－(－3)(1＋m)＝0，①由c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，② 答案D 已知a＝(3，－4)，b是与a共线的单位向量，求b的坐标．误区警示运算出错【示例】 纠错心得为了避免运算上的错误，请同学们解题时，务必细心． 引入向量坐标后，使向量的数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，利用坐标求模(长度)更为简单．课堂总结1．用坐标证明直线与直线垂直，可以转化成证两向量的数量积x1x2＋y1y2＝0.2．3．