湘教版必修第二册课件3.4.3 应用举例

1．能够根据函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象求出y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式．2．会收集数据，利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，会利用三角函数模型解决实际问题．3.4.3应用举例 三角函数的周期性(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝；(2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝；(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝；(4)y＝|Asin(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是；(5)y＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(Aωk≠0)的周期是；(6)y＝|Atan(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是.自学导引1． 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的性质(1)ymax＝_____，ymin＝_______．2．A＋k－A＋k(2)A＝，k＝．(3)ω可由确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝____，ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝_____，ωx4＋φ＝，ωx5＋φ＝_______中的一个确定φ的值．0π2π 如图，已知一长为dm，宽1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．自主探究 预习测评1.答案B 2.答案A 将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放，并同时开始计时取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图象中正确的是()．3．答案D 如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点B开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋4.2，则有()．答案A 利用三角函数模型研究的常见问题可用三角函数模型解决的几类问题如下：(1)在日常生活中的应用(2)在建筑学方面的应用(3)在航海中的应用(4)在气象学中的应用(5)在天文学中的应用(6)在物理学中的应用名师点睛1． 解三角函数应用题的基本步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．(1)审题审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，明确叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了数学问题．2． (3)解模运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决．(4)还原评价应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，给出答案． 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin，t∈[0，＋∞)．题型一正弦型函数的应用【例1】典例剖析(1)作出它的图象；(2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少？(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？ 解(1)列表： 如图弹簧挂着的小球作上下振动，时间t(s)与小球相对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是h＝2sin(t＋)，t∈[0，＋∞)，回答下列问题．1．(1)小球开始振动的位置在哪里？(2)小球最高、最低点与平衡位置的距离分别为多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)?(4)小球每1s能往复振动多少次？ 某港口在某季节每天的水深y(m)与时间t(h)的观测数据及其关系如下表：题型二构建函数模型【例2】t/h03691215182124y/m1013107101310710(1)选用一个函数来近似拟合这个港口的水深y(m)与时间(h)的函数关系；(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若使该船当天安全离港，它在港内停留的最长时间是多少？(忽略进、离港所用的时间) 解(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(如下图)．根据散点图，可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h来拟合水深与时间之间的对应关系． (2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故船在安全航行时水深应不少于11.5m.即12k＋1≤t≤12k＋5，(k＝0，1)．∴1≤t≤5或13≤t≤17.所以，该船在凌晨1时进港，5时出港；或下午13时进港，下午17时出港，即在港内停留的最长时间为8小时． 点评由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化，才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作答． 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：2．(1)根据以上数据选用一个适当的函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解(1)根据数据及其图象可以用y＝Acosωt＋b来表示，海浪的高度y(米)与时间t(小时)之间的对应关系．由表中数据，知周期T＝12， 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，①由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，② 即12k－3<t<12k＋3，k∈Z，③∵0≤t≤24，故可令③中k分别为0，1，2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00. 某弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐振动，A与B相距10cm，振子从A到B需5秒，则振子从O点开始经过10秒所经过的路程和位移分别为()．A．20cm和20cmB．20cm和10cmC．10cm和20cmD．20cm和0cm错解因为从A到B需5秒，而A与B相距10cm，所以10秒所经过的路程是20cm，位移也是20cm.故选A.错因分析路程与位移是有区别的，路程只有大小没有方向，而位移不仅有大小，而且有方向．误区警示混淆路程与位移而出错【示例】 正解因为从A到B需5秒，而A与B相距10cm，所以10秒所经过的路程是20cm.而位移有方向，振子从O点开始经过10秒后仍回到了原点，其位移为0cm.故选D.答案D纠错心得位移是一个物理概念，在解答数学试题时，应把数学科与其它学科联系起来，这样才能避免出错． 三角函数的应用可分为三角函数的理论应用和三角函数的实际应用．三角函数在理论上的应用主要表现在两个方面：(1)主动地、有意识地实施三角代换，把一些三角函数以外的数学问题迁移到三角函数环境中来，使问题得到简化，实施三角代换的优势体现在三角函数中有体系完整的公式可选用．(2)三角函数作为一种工具应用于其他课题之中．课堂总结1．2． 三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题．三角函数应用题的特点是：(1)实际问题的意义反应在三角形中的边、角关系上，这样的三角形有直角三角形、有斜三角形，有时一个问题中既有直角三角形又有斜三角形．(2)函数的模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时同一个问题中三角函数与代数函数并存．3．