湘教版必修第二册课件4.5.2 利用数量积计算长度和角度

掌握利用向量的数量积的性质，求长度和角度，判断两向量是否垂直，了解其几何意义．4.5.2利用数量积计算长度和角度 向量的数量积的性质(1)如果b是单位向量，则a·b＝b·a＝______________；(a≠0，b≠0)(2)a⊥b⇒______且a·b＝0⇒____(a≠0，b≠0)；(3)a·a＝___或|a|＝______.自学导引|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0a⊥b|a|2 (4)cos〈a，b〉＝＝.(5)|a·b|__|a||b|.(6)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(7)(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2.(8)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.≤ 已知|a|＝|b|＝2，〈a，b〉＝80°，试求向量a－b与b的夹角大小．自主探究由于|a|＝|b|＝2，所以△ABC为等腰三角形由于〈a，b〉＝80°，即∠BAC＝80°，所以∠ABC＝∠ACB＝50°，平移向量b，使其起点与a－b的起点重合，则∠ACB的补角为a－b与b的夹角；易求得〈a－b，b〉的大小为130°. 已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()．预习测评1．答案B下列等式中，其中正确的有()．①|a|2＝a2②③(a·b)2＝a2·b2④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2A．1个B．2个C．3个D．4个2． 答案B 若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()．答案B已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.答案73．4． 向量数量积的性质及作用设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.(1)a⊥b⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线．名师点睛 已知向量a，b满足|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|.解由已知：|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝242.a2＋2a·b＋b2＝242，2a·b＝242－132－192＝46.又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132－46＋192＝484，题型一向量模的运算【例1】典例剖析 点评利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： 向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，求|a＋b|·|a－b|的值．1． 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．题型二向量夹角的运算【例2】 点评求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．2． 设两向量e1，e2满足：|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．误区警示混淆两向量的夹角为钝角与两向量的数量积为负之间的关系而出错【示例】 错因分析当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角． 纠错心得若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负．反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180°，其数量积也为负． 1．两个向量垂直等价于它们的数量积等于0.2．牢记向量数量积的性质．课堂总结