湘教版必修第二册课件4.5.1 向量的数量积

1．理解向量数量积的含义及其物理意义，体会向量数量积与向量投影的关系．2．能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算．4.5向量的数量积4.5.1向量的数量积 两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b(如图所示)，作自学导引1．则______称作向量a∠AOB和向量b的夹角，记作_______，并规定它的范围是______．〈a，b〉[0，π](2)当时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与_________垂直．任意向量 向量的数量积(内积)定义______________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝________________．数量积的运算律(1)a·b＝___；(2)(a＋a′)·b＝________；(3)对任意实数λ，有λ(a·b)＝_________＝_________．2．3．|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉b·aa·b＋a′·b(λa)·ba·(λb) 设e1，e2是两个单位向量，向量a＝ke1＋e2与b＝e1－ke2满足|a|＝|b|.(1)求e1与e2的数量积用k表示的解析式f(k)；(2)若e1与e2的夹角为60°，求f(k)及相应的k值；(3)若a与b垂直，求实数k的值．自主探究 若a·b＜0，则a与b的夹角〈a，b〉的取值范围是()．预习测评1．答案C已知向量a与b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝5，则a·b＝______．2． 已知|a|＝8，a与b的夹角为120°，则a在b方向上的投影值为________．解析a在b方向上的投影值为|a|cos120°＝－4.答案－4已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，a与c的夹角为90°，b与c的夹角为60°，则(a＋b)·c＝________．3．4．答案4 向量数量积的定义及几何意义(1)两个向量的数量积的定义两个向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a，b的夹角，并规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.关于向量的数量积的定义，应注意以下几点：①求a，b的数量积需已知三个量，即|a|，|b|，θ，其中找夹角θ是关键，注意θ∈[0，π]．②两个向量的数量积a·b是两个向量之间的一种规定的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号与两向量夹角的余弦值的符号相同．名师点睛1． ③两个向量a，b的数量积a·b与代数中两个数a，b的乘积ab(或a·b)不同，但又类似，书写时一定要严格区分．④由于没有定义零向量的夹角问题，所以0的数量积是补充规定的，应当注意0·a＝0，但0a＝0，a0＝0.⑤已知实数a，b，c(b≠0)则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量的数量积．该推理不正确，即a·b＝b·c⇒/a＝c.对a·b＝b·c，一般进行下面推理：a·b＝b·c⇒a·b－b·c＝0⇒(a－c)·b＝0⇒a＝c或b＝0或(a－c)⊥b. (2)向量数量积的几何意义对于a·b＝|a|·|b|cosθ，其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影值(θ为向量a与b的夹角)记作(b)a.当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值；当θ＝90°时，它是0；当θ＝0°时，它是|b|；当θ＝180°时，它是－|b|.a·b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影值|b|cosθ的乘积． 向量数量积的运算性质(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b(分配律)；注意：(1)若a、b、c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量，就不正确，即a·b＝b·c⇒/a＝c.由图可以看出．(2)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．2． 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．题型一数量积的计算【例1】典例剖析 点评(1)求向量数量积的步骤是：①求：a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．(2)非零向量a与b共线的等价条件是a·b＝±|a||b|. 已知正方形ABCD的边长为1，分别求1． 若|a|＝4，a·b＝6，则b在a方向上的投影值等于________．题型二投影值问题【例2】点评a在b上的投影值．(a)b＝|a|cos〈a，b〉． 已知e为一单位向量，a与e之间夹角为120°，a在e方向上的投影值为－2，则|a|＝________.解析|a|cos120°＝－2，|a|＝4.答案42． 误区警示未弄清向量的夹角而出错【示例】错因分析两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°，当两个向量反向共线时，其夹角为180°.上面的解答没有注意到这个问题，导致出错． 纠错心得求两个向量的夹角时，应把这两个向量平移到起点重合的位置，若不便于平移，就需要作辅助线．两向量的夹角的范围是[0°，180°]，当两向量同向共线时，其夹角为0°；当两个向量反向共线时，其夹角为180°. 两个向量的数量积是两个向量间的一种乘法，这种乘法不同于向量数乘运算，两个向量的数量积是一个数量，它的大小与两个向量的模及其夹角有关．数乘向量是一个向量，所得向量与原向量共线．向量的数量积满足交换律，对加法的分配律及数乘向量与向量数量积的结合律．课堂总结1．2．