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【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第五篇 第3讲 向量的数量积 理 湘教版

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第3讲向量的数量积A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,则实数m的值为(  ).A.-B.C.2D.6解析 由a·b=3×2+m×(-1)=0,解得m=6.答案 D2.(2022·东北三校联考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是(  ).A.-4B.4C.-2D.2解析 设a与b的夹角为θ,∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积,而cosθ==-,∴|a|cosθ=6×=-4.答案 A3.(2022·广东)若向量a,b,c满足a∥b,且a⊥c,则c·(a+2b)=(  ).A.4B.3C.2D.0解析 由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c·(a+2b)=c·a+2c·b=0.答案 D4.(2022·天津)已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-,则λ等于(  ).A.B.C.D.解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,),由=λ,得P(2λ,0),由=(1-λ),得Q(1-λ,(1-λ)),所以5\n·=(-λ-1,(1-λ))·(2λ-1,-)=-(λ+1)(2λ-1)-×(1-λ)=-,解得λ=.]答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·北京)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.解析 以,为基向量,设=λ(0≤λ≤1),则=-=λ-,=-,所以·=(λ-)·(-)=-λ·+2=-λ×0+1=1.又=,所以·=(λ-)·=λ2-·=λ×1-0=λ≤1,即·的最大值为1.答案 1 16.(2022·江苏)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.解析 以A点为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy,则=(,0),=(,1),设F(t,2),则=(t,2).∵·=t=,∴t=1,所以·=(,1)·(1-,2)=.答案 三、解答题(共25分)7.(12分)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=.(1)求a,b夹角的大小;(2)求|3a+b|的值.解 (1)设a与b夹角为θ,(3a-2b)2=7,即9|a|2+4|b|2-12a·b=7,而|a|=|b|=1,∴a·b=,∴|a||b|cosθ=,即cosθ=,5\n又θ∈[0,π],∴a,b的夹角为.(2)(3a+b)2=9|a|2+6a·b+|b|2=9+3+1=13,∴|3a+b|=.8.(13分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.解 (1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2022·秀山模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上取一点P,使·有最小值,则P点的坐标是(  ).A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)解析 设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,·有最小值1.∴此时点P坐标为(3,0),故选C.答案 C5\n2.(2022·广东)对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβ=.若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈,且ab和ba都在集合中,则ab=(  ).A.B.1C.D.解析 由定义αβ=可得ba===,由|a|≥|b|>0,及θ∈得0<<1,从而=,即|a|=2|b|cosθ.ab====2cos2θ,因为θ∈,所以<cosθ<1,所以<cos2θ<1,所以1<2cos2θ<2.结合选项知答案为C.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.解析 由已知a·c-b·c=0,a·b=0,|a|=1,又a+b+c=0,∴a·(a+b+c)=0,即a2+a·c=0,则a·c=b·c=-1,由a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,即a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0,∴a2+b2+c2=-4c·a=4,即|a|2+|b|2+|c|2=4.答案 44.(2022·安徽)若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值是________.解析 由|2a-b|≤3可知,4a2+b2-4a·b≤9,所以4a2+b2≤9+4a·b,而4a2+b2=|2a|2+|b|2≥2|2a|·|b|≥-4a·b,所以a·b≥-,当且仅当2a=-b时取等号.答案 -三、解答题(共25分)5.(12分)设两向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.5\n解 由已知得e=4,e=1,e1·e2=2×1×cos60°=1.∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7.欲使夹角为钝角,需2t2+15t+7<0,得-7<t<-.设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),∴∴2t2=7.∴t=-,此时λ=-.即t=-时,向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时,t的取值范围是∪.6.(13分)(2022·东营模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=,n=,且满足|m+n|=.(1)求角A的大小;(2)若||+||=||,试判断△ABC的形状.解 (1)由|m+n|=,得m2+n2+2m·n=3,即1+1+2=3,∴cosA=.∵0<A<π,∴A=.(2)∵||+||=||,∴sinB+sinC=sinA,∴sinB+sin=×,即sinB+cosB=,∴sin=.∵0<B<,∴<B+<,∴B+=或,故B=或.当B=时,C=;当B=时,C=.故△ABC是直角三角形.5

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发布时间:2022-08-26 00:38:46 页数:5
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文章作者:U-336598

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