【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第4章第3节平面向量的数量积课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.[解析]　如图所示，＝＋，＝＋＝－，∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16.[答案]　－162．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b的夹角为120°，则b的模为________．[解析]　由|a＋b|＝1得|a|2＋2a·b＋|b|2＝1.设|b|＝x(x>0)．由|a|＝1及〈a，b〉＝120°得1＋2·1·x·cos120°＋x2＝1，解得x＝1(x＝0舍去)，故|b|＝1.[答案]　13．在Rt△ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D，使＝2，则·＝________.[解析]　如图所示，＝＋，又＝2＝，∴＝＋＝＋(－)，因此＝＋，5\n由∠C＝，知·＝0，且AC＝3，则·＝·＝＋·＝6.[答案]　64．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．[解析]　向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝.[答案]　5．若向量a，b，c满足a∥b，且b·c＝0，则(2a＋b)·c＝________.[解析]　∵a∥b，∴b＝λa.又b·c＝0，∴a·c＝0，∴(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝0.[答案]　06．(2014·苏州市调研)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则实数t的值为________．[解析]　由b·c＝0，得ta·b＋(1－t)b2＝0⇒t·1·1·cos60°＋(1－t)·12＝0⇒t＝2.[答案]　27．(2014·兴化月考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a，b的夹角为，则|a＋b|＝________.[解析]　a·b＝|a||b|cos＝1，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2＋4＝7，所以|a＋b|＝.[答案]　8．(2014·扬州月考)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为________．[解析]　易知c＝－(a＋b)，因此a·c＝－a·(a＋b)＝－a2－a·b，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故a⊥c，夹角为90°.[答案]　90°二、解答题5\n9．(2014·启东中学期中检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角．[解]　(1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2得∴或所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵a＋2b与2a－b垂直，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－2b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．[解]　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.5\n[B级　能力提升练]一、填空题1．(2014·泰州质检)在△ABC中，若AB＝1，AC＝，|＋|＝||，则＝________.[解析]　由平行四边形法则，|＋|＝||＝||，故A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且∠A为直角，从而四边形ABDC是矩形．由||＝2，∠ABC＝60°，∴＝＝.[答案]　2．(2013·湖南高考改编)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为________．[解析]　∵a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又a·b＝0，∴a⊥b，∴|a＋b|＝.∴|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1.∴c2－2c·(a＋b)＋1＝0.∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∴c2＋1＝2|c||a＋b|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．∴c2＋1＝2|c|cosθ≤2|c|.∴c2－2|c|＋1≤0.∴－1≤|c|≤＋1.∴|c|的最大值为＋1.[答案]　＋1二、解答题3．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．[解]　由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.5\n欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是∪.5