【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标运算课后限时自测 理 苏教版
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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第4章第2节平面向量的基本定理及坐标运算课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1.(2013·陕西高考改编)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m=________.2[解析]由a∥b⇒m=1×2⇒m=2或m=-2.[答案]±2x8,2.已知向量a=2,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x=________.x8-2x,-2[解析]a-2b=2,2a+b=(16+x,x+1),x-2由题意得(8-2x)·(x+1)=2·(16+x),2整理得x=16,又x>0,所以x=4.[答案]4→→→3.如图425所示,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设AD=a,AB=b,若AB=→→2DC,则AO=________(用向量a和b表示).图425→→→→[解析]由AB=2DC知,AB∥DC且|AB|=2|DC|,→→从而|BO|=2|OD|.→→→→222∴BO=BD=(AD-AB)=(a-b),333→→→221∴AO=AB+BO=b+(a-b)=a+b.33321[答案]a+b331\n→→14.(2014·无锡质检)已知A(7,1)、B(1,4),直线y=ax与线段AB交于C,且AC=2CB,2则实数a等于________.→→→→[解析]设C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y),∵AC=2CB,x-7=21-x,x=3,∴解得∴C(3,3).y-1=24-y,y=3,11又∵C在直线y=ax上,∴3=a·3,∴a=2.22[答案]25.(2014·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥CD,AD∥BC,已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为________.[解析]由条件中的四边形ABCD的对边分别平行,可以判断四边形ABCD是平行四边形,设D(x,y),→→则有AB=DC,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得(x,y)=(0,-2).[答案](0,-2)6.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B的坐标轴上,则B的坐标为________.[解析]当B在x轴上时,设B(x,0),则b=(x-1,-2),77,0因为b∥a,所以3(x-1)=(-2)×(-2),解得x=,即B3.3当B在y轴上时,设B(0,y),则b=(-1,y-2),因为b∥a,7所以(-2)(y-2)=(-1)×3,解得y=.27770,0,,0所以B2,即B的坐标为2或3.770,,0[答案]2或37.(2014·苏州调研)如图426,定点A(-1,3),一小虫可以近似地看做一点,它从单位圆周上P0(1,0)处2\n图426→π开始按逆时针方向运动,且每秒运动的弧长为,在t(t>0)s时到达点P,记向量OQ=5→→OA+OP,则下列结论中正确的有________(把所有正确结论的序号都填上).→ππcost,sint(1)OP=55;→ππ-1+cost,3+sint(2)OQ=55;(3)当P点纵坐标第一次达到最大时,所需要的时间是t=2s;→(4)|OQ|的最大值是2.ππcost,sint[解析]因为P55,→ππcost,sint所以OP=55,→→→-1+cosπt,3+sinπt则OQ=OA+OP=55,故(1)、(2)正确;π5当sint=1时,t=10k+(k∈Z),52→5当k=0时,t=,故(3)错;结合图形可知,向量OQ的模的最大值为3,故(4)错.2[答案](1)(2)πxπ-8.(2014·连云港模拟)函数y=tan42(0<x<4)的图象如图427所示,A为→→→图象与x轴的交点,过点A的直线l与函数的图象交于C、B两点,则(OB+OC)·OA=________.3\n图427[解析]因为A点是对称中心,且A点坐标是(2,0),所以点A是线段BC的中点,所以→→→→→→→→→2OC+OB=2OA,所以(OB+OC)·OA=2OA·OA=2OA=2×4=8.[答案]8二、解答题→→→9.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP=OA+tAB(t∈R),问:(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在二、四象限的角平分线上?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.[解](1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5),→→∴OA=(1,2),AB=(3,3),→→→OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).2若P在x轴上,只需2+3t=0,t=-;3若P在第二、四象限的角平分线上,则11+3t=-(2+3t),t=-.2→→(2)OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t),→→若OABP是平行四边形,则OA=PB,3-3t=1,即此方程组无解.3-3t=2,所以四边形OABP不可能为平行四边形.10.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?[解]ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),法一:当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4)得,k-3=10λ,1解得k=λ=-.2k+2=-4λ.31∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,34\n11这时ka+b=-a+b=-(a-3b).331∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向.3法二:∵ka+b与a-3b平行.1∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=-,312--3,-+21此时ka+b=33=-(a-3b).31∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.3[B级能力提升练]一、填空题1.若i,j是某平面一组基底,向量r=xi+yj(x、y∈R),则称(x,y)为向量r在基底i、j下的坐标,已知向量α在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________.[解析]由已知得α=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设α=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),-λ+μ=2,λ=0,则∴∴α=0m+2n,λ+2μ=4,μ=2,∴α在基底m,n下的坐标为(0,2).[答案](0,2)→→→2.(2014·南京质检)设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O12为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值为________.ab→→→→→→[解析]AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2).→→∵A,B,C三点共线,∴AB∥AC.∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1.1212+∴+=ab(2a+b)abb4ab4a=4++≥4+2·=8.abab5\nb4a当且仅当=时取等号.ab12∴+的最小值是8.ab[答案]8二、解答题3.(2014·苏锡常镇调研)如图428所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以→→→A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量AC=λDE+μAP,求λ+μ的最小值.图428→[解]以A为原点,建立如图所示的直角坐标系,不妨设正方形边长为1,则AC=(1,1),→1,-1DE=2.πλ→0,1=+μcosα,设AP=(cosα,sinα),α∈2,得2消去λ得μ=1=-λ+μsinα,3.2cosα+sinα1+sinα而λ=μsinα-1,故λ+μ=μsinα-1+μ=3·-1.2cosα+sinαπ1+sinα0,设f(α)=,α∈2,2cosα+sinα6\nπ2+2sinα-cosα0,则f′(α)=,因为f′(α)>0恒成立,故f(α)在2上22cosα+sinα11单调递增,故当α=0时,[f(α)]min=f(0)=,所以(λ+μ)min=.227
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