【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第6章 第3节 基本不等式课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第6章第3节基本不等式课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．(2014·徐州期中检测)如果log2x＋log2y＝1，则x＋2y的最小值是________．[解析]　由log2x＋log2y＝1得log2(xy)＝1，∴xy＝2且x>0，y>0，x＋2y≥2＝4.当且仅当x＝2y即x＝2，y＝1时，x＋2y取得最小值4.[答案]　42．(2013·山东高考改编)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则的最大值是________．[解析]　由题设，得z＝x2－3xy＋4y2，∴＝＝，又x，y，z大于0，∴＋≥4，故≤1.当且仅当x＝2y时，等号成立，则的最大值为1.[答案]　13．(2014·苏州调研)若x>2，则x＋的最小值为________．[解析]　∵x>2，∴x－2>0，x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当x－2＝即x＝3时等号成立，∴x＋的最小值为4.[答案]　45\n4．(2014·扬州中学检测)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为________．[解析]　由已知解出y＝－2，那么xy＝x＝－2x＝x＋9＋，∵x，y为正实数，∴y>0，则x>1，x－1>0，x＋9＋＝(x－1)＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，故所求最小值为16.[答案]　165．(2014·泰州调研)关于x的方程x2＋2px＋2－q2＝0(p>0，q>0)有两个相等的实根，则p＋q的取值范围是________．[解析]　由题意，Δ＝4p2－4(2－q2)＝0，即p2＋q2＝2，又(p＋q)2＝p2＋q2＋2pq≤2(p2＋q2)＝4.所以0<p＋q≤2.[答案]　(0,2]6．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．[解析]　∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴＝＝≥＝，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，又a＋b＝2，∴a＝，b＝时，＋有最小值.[答案]　7．(2014·扬州模拟)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值是________．5\n[解析]　∵a>0，b>0，∴＋≥恒成立，等价于m≤5＋＋恒成立．又5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．∴m≤9，则m的最大值为9.[答案]　98．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．[解析]　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．[答案]　5　8二、解答题9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解]　∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋8＝18.故x＋y的最小值为18.10．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.[证明]　＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋25\n＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时取等号，∴＋＋≥9.[B级　能力提升练]一、填空题1．(2014·盐城检测)常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，＋＝.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.[解析]　由＋＝及x>0，y>0，知＋＝1，且a>0，b>0.则x＋2y＝(x＋2y)＝2a＋8b＋4≥2a＋8b＋4·2.当且仅当ay2＝bx2时取等号，即x＋2y的最小值为2a＋8b＋32.由条件得2a＋8b＋32＝64，即a＋4b＝16.又ab＝16，所以a＝8，b＝2，故ab＝82＝64.[答案]　642．(2014·苏州高级中学检测)已知f(x)＝log3(x－3)，若实数m，n满足f(m)＋f(3n)＝2，则m＋n的最小值为________．[解析]　首先寻找出m，n的最直接的关系，log3(m－3)＋log3(3n－3)＝2，即(m－3)(3n－3)＝9，也即(m－3)(n－1)＝3(m>3，n>1)，利用基本不等式有m＋n＝(m－3)＋(n－1)＋4≥2＋4＝2＋4，m－3＝n－1＝时等号成立，故最小值为2＋4.[答案]　2＋4二、解答题3．(2014·通泰扬宿调研)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？5\n(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．[解]　(1)∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f(x)＝4y＝则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4.当4<x≤10时，由20－2x≥4解得x≤8，∴此时4<x≤8.综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4.∵14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，∴4∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，∴a的最小值为24－16≈1.6.5