湘教版必修第二册课件3.1.1 角的概念的推广

1．理解任意角、象限角的概念，会用集合语言表示终边相同的角．2．会求某范围内与角α终边相同的角．3.1弧度制与任意角3.1.1角的概念的推广 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内_________绕着_____从一个位置____到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：自学导引1．一条射线端点旋转 类型定　义图　示正角按_______________形成的角负角按_______________形成的角零角一条射线_______________，称它形成了一个零角逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转 象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与___________的和．2.3．第几象限角α＋k·360°整数个周角 若α是第四象限的角，那么是第二象限的角吗？如果不是，请说明理由．自主探究 5分钟的时间，分针所转过的角度是()．A．360°B．－360°C．5°D．－30°答案D下列各角中是第二象限角的有________个()．①125°②195°③－200°④179°A．1B．2C．3D．4解析①、③、④中的角都是第二象限角，故选C.答案C预习测评1．2． 与25°角终边相同的角的集合是()．A．{α|α＝25°＋360°}B．{α|α＝25°＋k·180°，k∈Z}C．{α|α＝25°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－25°＋k·360°，k∈Z}答案C在0°～360°范围的与－30°终边相同的角是________．答案330°3．4． 对象限角的认识(1)象限角的前提条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角(或者说这个角属于第几象限)．各象限角的集合表示如下：第一象限角：{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}；第二象限角：名师点睛1． {α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}；第三象限角：{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}；第四象限角：{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}．(3)角的终边若落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称它为轴线角(或称为象限界角)．轴线角的集合表示如下：{α|α＝k·360°，k∈Z}{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z} {α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}对终边相同的角的认识(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合．2． (2)对于与角α终边相同的角的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}明确以下几点：k为整数；α为任意角；k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成是k·360°＋(－30°)；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍． 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角．(1)420°(2)－75°(3)855°(4)－510°解作出各角的终边如图所示：题型一终边相同的角与象限角【例1】典例剖析由图可知(1)420°是第一象限角；(2)－75°是第四象限角；(3)855°是第二象限角；(4)－510°是第三象限角． 点评象限角的判定其实有两种方法：一是图象观察法(如上)，二是转化为与0°～360°角终边相同的角(今后常用)． 在与1089°角终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)在－360°～720°内；(2)最大的负角；(3)最小的正角．解与1089°角终边相同角的一般形式为α＝k·360°＋1089°(k∈Z)．(1)由－360°≤α＜720°，得－360°≤k·360°＋1089°＜720°(k∈Z)，－1449°≤k·360°＜－369°(k∈Z)，所以k＝－4，－3，－2，所以在－360°～720°内与角1089°终边相同的角分别为－351°、9°、369°.(2)由α＜0°，得k·360°＋1089°＜0°(k∈Z)，1． (3)由α＞0°，得k·360°＋1089°＞0°(k∈Z)， 写出终边在直线y＝x上的角的集合．解终边在直线y＝x上的第一象限角的集合为M＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，第三象限角的集合为N＝{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}．∴终边在直线y＝x上的角的集合为M∪N＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．题型二终边在一条直线上的角【例2】 写出终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合．解第二象限时，α＝k·360°＋135°，k∈Z；第四象限时，α＝k·360°＋315°＝k·360°＋180°＋135°，即第二象限角α＝k·360°＋135°＝2k·180°＋135°，第四象限角α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z，综合知：终边在第二、四象限角平分线的角的集合{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．2． 已知α是第二象限角，试确定2α，的终边所在的位置．解因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.所以2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．因为k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，题型三相关角所在象限的判定【例3】 已知α是第三象限角，则是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第四象限角D．第二或第四象限角3． 答案D 若α是第三象限的角，则是()．A．第一象限的角B．第三象限的角C．第四象限的角D．第一象限或第三象限或第四象限的角误区警示以偏概全而出错【示例】 答案D 任意角包括正角、负角、零角．在平面直角坐标系中，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限就叫做第几象限角，当角的终边在坐标轴上时叫做轴线角(或象限界角)．与α终边相同的角有无数多个，这无数多个组成的集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．课堂总结1．2． 由α所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：(1)画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域；3.(2)标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(如图所示)；(3)确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．由α所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：4． (1)画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；(2)标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图所示；(3)确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．