湘教版必修第二册教案5.1.1 两角和与差的正弦和余弦

两角和与差的正弦和余弦【教学方法】自主性学习【教材分析】随着时代的进步和数学的发展，高中数学的基础知识也在不断发生变化.三角函数的恒等变形以及运用公式这种变形的技能在高中数学“双基”中的地位和作用已经发生了变化.三角函数恒等变形对培养学生的逻辑思维能力固然起很大作用,但学生为了记忆大量公式而往往忽视对公式的来源、公式的内涵与外延以及公式之间的内在联系的理解,因此并不能很好地实现教学目标.再者,三角函数恒等变形也并不是培养学生运算能力和逻辑推理能力的唯一载体.因此,教科书改变了传统的模式,以用向量的数量积推导两角差的余弦公式.这样做既体现了向量在处理三角函数问题中的工具作用,又通过向量数量积的几何意义为两角差的余弦公式提供了几何背景,而且公式的证明也便得更加简捷,从而有利于学生的理解和掌握.在理解了两角差的余弦公式的基础上,推导两角和的余弦,利用诱导公式推导两角和与差的正弦就水到渠成了.事实上,通过这样一个具体的推导,也能体现一种新的理念:向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它应该属于当前高中数学的“双基”.通过学习,掌握了三角函数和向量的基础知识,为学生实施自主性学习提供了知识保障,加之我所教班级学生数学基础较好,对数学课有浓厚的兴趣,具备自主探索的能力,为学生自主学习提供展示自我的平台.【教学目标】一、知识与技能:1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程;2．了解两角和与差的正弦、余弦公式;3．初步学会用两角和与差的正弦、余弦公式解决简单的三角函数式求值问题.二、过程与方法目标：通过研究方案的制定和对公式的探索，培养学生掌握科学的研究方法、提高分析和解决问题的能力及探究能力，学会理性思维.三、态度、情感、价值观目标：让学生通过自主学习获取直接经验，培养其科学探索精神、团结协作意识和数学学习兴趣. 【教学重难点】重点：两角和与差的余弦、正弦公式难点：两角差的余弦公式的推导【教学分析】（一）建构主义学习理论认为,学生的认知结构是通过同化和顺应不断发展自主建构的,学生对知识不是被动的接受,而是学生自主地将学习内容通过认同、重组、发展、建构而纳入自身的认知结构的,使其成为整个认知结构的有机组成部分,因此本节课我采用“自主性教学”，充分了解学生的最近发展情况,精心创设问题情景,从发现问题到引发问题的讨论、交流、探索，从而达到解决问题的目的，最后引导学生归纳验证、练习巩固、总结反思,整个教学过程充分发挥学生的民主,以独立思考和多向交流、答辩等相结合,教师在其中是参与者、组织者、协作者，不断地监控学生的认知与思维过程,用幽默性和鼓励性的语言与学生进行交流、探讨,帮助学生发现问题、排除障碍,从而解决问题.（二）学生在轻松、和谐、民主的课堂氛围中，积极主动地与同学、老师进行大胆对话，在成功中享受喜悦、增强信心，同时对自己的认知过程不断地自我觉察、自我评价、自我调节，提高认知能力。【教学准备】多媒体教室。【教学过程】教师活动学生活动设计意图一、提出学习课题：由教师提出学习的课题：前面我们学习了单角的三角函数，在研究三角函数使还常常遇到这样的问题：“已知任意角α、β的三角函数值，求α+β、α-β的三角函数值”，今天我们就来研究这个问题.（板书课题）一、明确自主学习活动要解决的问题生：思考2个问题并回答师：对学生的回答做评价提问：能否直接求值，是否等于+，那么它和、的正弦、余弦有没有直接的联系呢？明确所要研究的问题，尽量具体化，激发学生研究的兴趣.通过问题引导学生的思考方向，为本节课的解决做铺垫. 引导学生把刚才的问题具体化，即已知任意角α、β的三角函数值，来推导以下二组公式二、确定研究方案：启发学生分析公式之间的联系并由此提出研究方案：1.启发学生思考是否可以先推导其中一组公式，从而很快推出其余两组公式。2．进一步启发学生先推导α+β（α-β）的余弦公式二、和教师合作，根据教师指导设计自己的研究方案师：提出问题，让学生带着问题去合作，讨论，探究。问题（1）：两角差的余弦的意义？（2）=-对于是否都成立，有没有成立的情况？（3）为任意角时，是否还成立？（4）公式结构上的特点是什么？（5）你还有没有其他的办法来找到与各自的三角函数关系？提出研究方案，培养学生的观察和思维能力，发现公式的内在联系，领会通过抓住主要矛盾去解决问题的方法，构建公式的网络结构.通过学生的自主探究来找到解决问题的办法，培养学生的思考和表达的能力，体现“由特殊到一般”的思维方式三、指导学生自主研究性学习：1．将全班划分为10个小组，安排学生在各小组内进行自主性研究.2．教师巡视并参与到小组活动中，了解学生的进展情况，对有的组在探索过程中遇到的困难根据实际情况进行引导：（1）思路参考：三、进行自主研究性学习：1．各组展开讨论，提出方法并自主探索公式，重点是推导第一组公式中的cos（α+β）或者cos（α-β），有时间的组可以推出sin（α+β）和sin（α-β），特别注意分析：（1）选择探索的出发点：，能否用适当以学生的探索活动为主线，突出学生的主体地位，使学生通过 回忆一下诱导公式是如何得出的？利用三角函数的坐标定义，例如要找sin(π-α)与sinα的关系先找π-α、α终边与单位圆的交点，再看两点坐标的关系（2）思路参考：任何向量与自身的数量积为向量长度的平方；两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值.（3）在巡视过程中发现学生的闪光点要及时加以鼓励,对新思路中的困难提供支持.的办法将α+β（α-β）、α、β放在单位圆中找出α+β（α-β）与α、β三角函数的关系呢？（2）寻求探索的突破口：如何在单位圆中寻找cos(α+β)与角α、β的三角函数间的等量关系。（3）对自本组遇到的困惑举手向教师提出看法，寻求支持.2．对本组研究性学习过程和得到的研究方法和研究成果归纳、概括，形成材料，准备后面的师生共议。自主推导公式提高思维水平及分析问题、解决问题的能力，通过实践获取直接经验，培养其探索精神和团结合作意识，在研究过程中加强学生思维的交流.四、师生共议,做出评价1．要求各小组派代表简述解决方案以及解决的思维过程并展示研究结果（重点是第一个公式的推导）.2．与学生对各小组的研究过程和结果作出评价.四、师生共议，改善过程与思路，获得新知1．各组代表陈述解决方案以及解决的思维过程并展示研究结果2．师生共议形成正确全面理解和得出结论,获取新知.对各小组的研究进行反馈，展现学生的思维过程，通过学生交流及师生交流深化学生的思维，形成研究成果，修正研究中存在的问题，提高概括和表达能力.五、例题分析和板演例2:已知五、听教师讲授例题，自主设计变式练习题，独立解决。备用练习题：1．教学材料。巩固知识点，提高应用能力，提供规范化解题过程. 求cos（α+β）,cos（α-β）的值.六、课堂学习小结：1．知识小结：引导学生归纳正弦余弦的和角、差角公式之间的内在联系，形成知识结构图；第一个公式推导中过程中出现的解决方案.2．方法小结：（1归纳在推导公式过程中的用到的数学思想方法：数形结合、方程的思想、坐标法、换元等，找出不同方案之间的共性。（2）归纳解决问题中用到的一般方法：寻找事物之间的联系，抓住问题的主要矛盾.六、体会小结,自我评价：由学生谈体会：“己推导的公式，觉得是否清楚？”“自主性学习，是否激发了自己的兴趣，更容易掌握知识？”“和同学一起讨论问题，是否有独立思考外的收获？”师生合作小结：能够进一步归纳过程与方法，让学生对自主学习过程有深刻的感受和多方面的收获.【作业布置】根据本节课学习，设计1到2道题目作为补充作业.巩固知识，提高应用能力 【教学设计】反馈练习开始课题提出学习课题确定研究方案学生自主研究性学习教师巡视参与和指导师生共议,形成结论例题分析和板演课堂小结作业结束符号说明：教学开始和结束教师的逻辑判断活动指向线师生的活动