湘教版必修第二册课件4.3 向量与实数相乘

1．掌握向量数乘运算及其几何意义，掌握向量数乘运算的运算律，能熟练地进行向量数乘运算．2．掌握平行向量的条件，会根据平行向量的条件判断两个向量是否平行或点共线．3．理解单位向量的概念及意义．4.3向量与实数相乘 向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个____，这种运算叫做向量的____，记作_____，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝________．(2)λa(a≠0)的方向自学导引1．向量数乘λa|λ||a|当______时，与a方向相同当______时，与a方向相反;λ>0λ<0特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝____或λ0＝____．平行向量(1)平行向量：方向__________的____向量叫做平行向量．(2)平行向量的条件：2．00相同或相反非零 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的_____倍．零向量的方向零向量的方向是______，零向量与所有的向量____．向量与实数的乘法运算律(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(x＋y)a＝xa＋ya，x(ya)＝(xy)a.(2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a＋b)＝λa＋λb.单位向量：长度为_的向量称为单位向量，已知a，则a0＝3．4．5．实数任意的平行1. 提示表面看来，好像不共线，但眼见不一定为实，还得要让计算来说明问题．自主探究 下列计算正确的个数为()．①(－7)×6a＝－42a;②|－2010a|＝2010|a|；③a＋b－(a＋b)＝0;④a－2b＋(2a＋2b)＝3a.A．1个B．2个C．3个D．4个答案C预习测评1．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝___b()．2．解析b与a反向，故a＝λb(λ<0)，|a|＝－λ|b|，即5＝－λ·7.答案B 下列说法不正确的是()．A．方向相同或相反的非零向量是平行向量B．向量可以平行移动C．有公共起点的向量叫共线向量D．零向量与任一向量共线答案C3．4. 对于实数与向量的积的理解(1)λa的几何意义就是把a沿着与a相同(λ>0时)或相反(λ<0时)的方向伸长(|λ|>1时)或缩短(|λ|<1时)到原来的|λ|倍．(2)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，比如λ＋a，λ－a无法进行运算．(3)当λ＝0或a＝0时λa＝0，这时就不必讨论方向了；当λ＝－1时，(－1)a＝－a，就是a的相反向量．名师点睛1． 向量共线向量b与非零向量a共线，则有且只有一个实数λ，使得b＝λa；若b＝λa(λ∈R)则a与b共线．注意：(1)要证明向量a、b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可．(2)如果a＝b＝0，数λ仍然存在，此时λ并不唯一，是任意实数．2． 化简下列各式：题型一向量的运算【例1】典例剖析 点评关于实数与向量相乘的有关运算，只需把向量符号a、b、c等，看作一般字母符号，然后按照实数的运算方法进行运算即可，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项． 计算：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；1．解(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b. 题型二用图形中指定向量表示其他向量【例2】 点评用图形中指定向量表示其他向量时，一般是利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则把被表示的向量表示出来． 2. 已知非零向量e1和e2不共线．题型三共线问题【例3】(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 点评本题以正反两方面考查了向量共线，即若b与非零向量a共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa；若b＝λa(λ∈R)，则b与a共线． 3. 题型四向量在平面几何中的应用【例4】 如右图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD.求证：M、N、C三点共线．4． a与b共线与a＋b与a－b共线有关系吗？错解a与b共线时，a＋b与a－b一定共线，这在作图求向量的加法与减法时就看得出来．反之，a＋b与a－b共线时，不能保证a与b共线．错因分析两个向量是否共线，应经过严格的推理才能得出结论，而不能凭感觉看出来．误区警示不严密推理而出错【示例】 因此若a与b共线，则a＋b与a－b共线，反之，若a＋b与a－b共线，则a与b共线． 纠错心得解答数学问题讲究逻辑性，要肯定一个结论成立，需要经过严密的推理证明，而指出一个结论不成立，则只须举一反例即可．我们在作图求向量的加法与减法时，确实碰到过a与b共线时，画出来的a＋b与a－b共线，但这不能代替证明．错解中的“反之，a＋b与a－b共线时，不能保证a与b共线”，即使是对的，由于没有举出反例，难以令人信服，何况这个论断是错的． 实数与向量相乘的结果是一个向量，它与原向量共线，它的模等于原向量的模与该实数绝对值的乘积．向量与实数相乘满足结合律及对加、减法的分配律．向量共线的条件可以证明向量共线或点共线等．课堂总结1．2．