苏教版必修第二册课后习题9.2.2 向量的数乘

9.2.2　向量的数乘1.下列运算正确的个数是(　　)①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3答案C解析根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确;③中,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是0,所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.2.已知a=5e,b=-3e,c=4e,则2a-3b+c等于(　　)A.5eB.-5eC.23eD.-23e答案C解析2a-3b+c=2×5e-3×(-3e)+4e=23e.3.已知向量a,b为非零向量,AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则(　　)A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案B解析∵BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB,∴A,B,D三点共线.4.3(6a+b)-9a+13b=　　　　　. 答案9a解析3(6a+b)-9a+13b=18a+3b-9a-3b=9a. 5.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于　　　　　. 答案-Rr解析因为b=λa,所以|b|=|λ||a|.又因为a与b反向,所以λ=-Rr.6.已知P,A,B,C是平面内四点,且PA+PB+PC=AC,则下列向量一定共线的是　　　　　.(填序号) ①PC与PB;　②PA与PB;　③PA与PC;　④PC与AB.答案②解析因为PA+PB+PC=AC,所以PA+PB+PC+CA=0,即-2PA=PB,所以PA与PB共线.7.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是　　　　　. 答案等腰梯形解析由已知得AB=-57CD,因此AB∥CD,且|AB|≠|CD|,所以四边形ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.8.若非零向量a与b不共线,ka+2b与3a+kb共线,则实数k的值为　　　　　. 答案±6解析∵ka+2b与3a+kb共线,∴存在实数λ,使得ka+2b=λ(3a+kb),∴(k-3λ)a=(λk-2)b.∵a与b不共线,∴k-3λ=0,λk-2=0,∴k=±6. 9.计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);(2)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).解(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.(2)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b.10.下列说法正确的是(　　)A.λa与a的方向不是相同就是相反B.若a,b共线,则b=λaC.若|b|=2|a|,则b=±2aD.若b=±2a,则|b|=2|a|答案D11.下列各组向量中,一定能推出a∥b的是(　　)①a=-3e,b=2e;②a=e1-e2,b=e1+e22-e1;③a=e1-e2,b=e1+e2+e1+e22.A.①B.①②C.②③D.①②③答案B解析①中,a=-32b,所以a∥b;②中,b=e1+e22-e1=e2-e12=-12a,所以a∥b;③中,b=3e1+3e22=32(e1+e2),若e1与e2共线,则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线.故选B.12.已知a,b是不共线的向量,AB=λa+2b,AC=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　) A.-1B.2C.-2或1D.-1或2答案D解析因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使AB=kAC.因为AB=λa+2b,AC=a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].因为a与b不共线,所以λ=k,2=k(λ-1),解得λ=2或λ=-1.13.如图,在△ABC中,AB=a,AC=b,DC=3BD,AE=2EC,则DE等于(　　)A.-13a+34bB.512a-34bC.34a+13bD.-34a+512b答案D解析DE=DC+CE=34BC+-13AC=34(AC-AB)-13AC=-34AB+512AC=-34a+512b.14.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列说法正确的是(　　)①m(a-b)=ma-mb; ②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.A.②④B.①②C.①③D.③④答案B解析由向量数乘的运算律知①②正确;③中当m=0时,ma=mb,但a不一定等于b,故错误;④中当a=0时,ma=nb,但m不一定等于n,故错误.15.已知在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD为(　　)A.梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形答案A解析∵AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b),∴AD=2BC.∴AD与BC共线,且|AD|=2|BC|.又这两个向量所在的直线不重合,∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.16.(多选)已知点P为△ABC所在平面内一点,且PA+2PB+3PC=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)A.向量PA与PC可能平行B.向量PA与PC可能垂直C.点P在线段EF上D.PE∶PF=1∶2答案BC解析∵PA+2PB+3PC=0, ∴PA+PC+2(PB+PC)=0,∵E为AC的中点,F为BC的中点,∴2PE+4PF=0,∴PE=-2PF,∴P为FE的三等分点(靠近点F),即PE∶PF=2∶1,故C正确,D错误;向量PA与PC不可能平行,故A错误;当|AC|=2|EP|=43|EF|=23|AB|时,向量PA与PC垂直,故B正确.17.已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a=　　　　　　,b=　　　　　　　. 答案37m+17n　-17m+27n解析由2a-b=m,可得b=2a-m,代入a+3b=n可得a+3(2a-m)=n,解得a=37m+17n,代入b=2a-m可得b=-17m+27n.18.如果实数p和非零向量a与b满足pa+(p+1)b=0,则向量a和b　　　　　.(填“共线”或“不共线”) 答案共线解析由题意知,实数p≠0,则pa+(p+1)b=0可化为a=-p+1pb,由向量共线定理可知a,b共线.19.已知在△ABC中,点M满足MA+MB+MC=0,若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=　　　　　. 答案3解析∵MA+MB+MC=0,∴点M是△ABC的重心.∴AB+AC=3AM,∴m=3.20.已知M是△ABC所在平面内的一点,若满足6AM-AB-2AC=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是　　　　　. 答案3 解析记2AM=AN.∵AN-AB+2AN-2AC=0,∴BN=2NC,∴S△ABC=32S△ABN.又S△ABM=12S△ABN,∴S△ABC=3S△ABM,∴λ=3.21.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=35AF,设AC=a,AB=b,试用a,b表示AE,AD,BD.解因为CB=b-a,CE=23CF=13CB=13(b-a),所以AE=AC+CE=23a+13b.因为AF=12(a+b),所以AD=85AF=45(a+b),所以BD=AD-AB=45(a+b)-b=45a-15b.22.已知O,A,M,B为平面上四点,且OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.(1)证明∵OM=λOB+(1-λ)OA,∴OM=λOB+OA-λOA,OM-OA=λOB-λOA,∴AM=λAB(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).又AM与AB有公共点A, ∴A,B,M三点共线.(2)解由(1)知AM=λAB,若点B在线段AM上,则AM与AB同向,且|AM|>|AB|>0,∴λ>1.23.在△ABC中,点P是AB上一点,且CP=23CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且CM=tCP,求实数t的值.解∵CP=23CA+13CB,∴3CP=2CA+CB,即2CP-2CA=CB-CP.∴2AP=PB,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.∵A,M,Q三点共线,∴设CM=xCQ+(1-x)CA=x2CB+(x-1)AC,又CB=AB-AC,∴CM=x2AB+x2-1AC.又CP=AP-AC=13AB-AC,且CM=tCP,∴x2AB+x2-1AC=t13AB-AC.∴x2=t3,x2-1=-t,解得t=34.24.设a,b,c为非零向量,其中任意两向量不共线,已知a+b与c共线,且b+c与a共线,则b与a+c是否共线?请证明你的结论.解b与a+c共线.证明如下:∵a+b与c共线,∴存在唯一实数λ,使得a+b=λc.① ∵b+c与a共线,∴存在唯一实数μ,使得b+c=μa.②由①-②得,a-c=λc-μa.∴(1+μ)a=(1+λ)c.又a与c不共线,∴1+μ=0,1+λ=0,∴μ=-1,λ=-1,∴a+b=-c,即a+b+c=0.∴a+c=-b.故b与a+c共线.