苏教版必修第二册课件9.1 向量概念

第9章9.1向量概念 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.通过向量的实际背景理解向量的概念.2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念.3.理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 基础落实•必备知识全过关 知识点1向量的定义及表示(1)定义:既有又有的量叫作向量.(2)表示:①有向线段:带有方向的线段,它包含三个要素——起点、方向、长度.②向量的表示:向量的起点不固定,因此可以称为自由向量大小方向长度 名师点睛向量不能比较大小,这是因为向量是由大小和方向两方面确定的.向量的大小是代数特征,方向是几何特征. 过关自诊1.给出下列各量:①密度;②浮力;③温度;④风速.其中是向量的是()A.①②B.②③C.②④D.③④答案C解析由向量的概念可知:浮力与风速是向量,密度与温度是数量,故选C.实际问题中的一些量(温度、电量等),尽管它们有正、负之分,但正、负并不表示方向,所以它们是数量,而向量是一个既有大小又有方向的量,如位移、速度、加速度、力等. 2.向量与有向线段有什么区别?提示向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.有向线段有起点、方向与长度三个要素,若起点不同,尽管方向与长度相同,也是不同的有向线段. 知识点2向量的有关概念向量名称定义零向量长度为0的向量,记作0单位向量长度等于长度的向量平行向量(共线向量)方向的非零向量,向量a,b平行,记作a∥b.规定:零向量与任一向量相等向量(相同向量)长度且方向的向量;向量a,b相等,记作a=b相反向量长度且方向的向量,a的相反向量记作-a1个单位相同或相反平行相等相同相等相反 名师点睛1.零向量的长度为0,方向是任意的.2.单位向量只规定了向量的大小(模长为1),并没有规定向量的方向.3.向量共线包括四种情况:方向相同,模相等;方向相同,模不等;方向相反,模相等;方向相反,模不等.4.相等向量是平行(共线)向量,但平行(共线)向量不一定是相等向量. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(2)若a,b都是单位向量,则a=b.()(3)若a=b,且a与b的起点相同,则终点也相同.()(4)零向量的大小为0,没有方向.()(5)相反向量就是方向相反的向量.()××√×× 2.设O是正三角形ABC的中心,则向量是.(填序号)①平行向量;②模相等的向量;③相等向量.答案②解析由O是正三角形ABC的中心,知点O到三个顶点A,B,C的距离相等,但三个向量的方向既不相同也不相反,所以是模相等的向量. 知识点3向量的夹角(1)定义:对于两个非零向量a和b,在平面内任取一点O,作叫作向量a与b的夹角.(2)当θ=0°时,a与b;当θ=180°时,a与b;当θ=90°时,则称向量a与b,记作.∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)同向反向垂直a⊥b 过关自诊A.30°B.60°C.120°D.150°答案C 重难探究•能力素养全提升 探究点一向量的概念【例1】下列说法正确的是()B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同C.若a∥b,b∥c,则a∥cD.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等答案A解析对于B,两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;对于C,当b=0时,a与c可能不平行;对于D,当两个单位向量平行时,这两个单位向量可能方向相反,此时不相等.故选A. 规律方法对于向量的相关概念问题,关键是把握好概念的内涵与外延,对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚.如有向线段与向量,有向线段是向量的表示形式,并不等同于向量.还有如单位向量,单位向量只是从模的角度定义的,与方向无关.又如零向量的模为零,方向则是任意的. 变式训练1下列说法正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小答案D解析不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确. 探究点二相等向量与共线向量【例2】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?(2)与a共线的向量有哪些?(3)请一一列出与a,b,c相等的向量. 规律方法相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再确定同向与反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量. 变式训练2如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. 探究点三向量的表示及应用【例3】在蔚蓝的大海上,一艘巡逻艇正在执行巡逻任务.它首先从点A出发向西航行了200km到达点B,然后改变航行方向,向西偏北50°航行了400km到达点C,最后又改变航行方向,向东航行了200km到达点D.此时,它完成了此片海域的巡逻任务. 规律方法平面向量在实际生活中的应用生活中很多问题可以归结为向量的问题,如力、速度、位移等,因此运用向量的知识进行解答可使问题简化,易于求解.解答时,一般先把实际问题用图示表示出来,然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解. 变式探究 变式训练3一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地. 探究点四求向量的夹角 规律方法求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,然后按照“一作二证三算”的步骤求出夹角. 变式训练4(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则以下说法正确的是()答案ABC 素养培优数形结合思想在向量中的应用【典例】已知A1,A2,…,A8是圆O的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及圆心这九个点中的任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径长的向量有多少个?模等于半径长的倍的向量有多少个? 学以致用•随堂检测全达标 1.下列各量中是向量的是()A.时间B.速度C.面积D.长度答案B解析速度既有大小又有方向,是向量,其余均是数量. 2.在同一平面内,把所有的单位向量的起点固定在同一点,那么这些向量的终点形成的图形是()A.单位圆B.一段弧C.线段D.直线答案A A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形答案C 4.(多选题)下列关于向量的说法,不正确的是()A.长度相等的两向量必相等B.两向量相等,其长度不一定相等C.向量的大小与有向线段的起点无关D.若a∥b,则a与b的夹角是0°答案ABD解析长度相等,方向不同的两向量并不是相等向量,故A错误;两向量相等,必有两向量的长度相等,故B错误;向量的大小与有向线段的起点无关,故C正确;若a∥b,则a与b的夹角是0°或180°,故D错误.故选ABD. 5.判断在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),是否存在下列关系的向量:(1)是共线向量的有;(2)方向相反的向量有;(3)模相等的向量有.答案(1)a和d,b和e(2)a和d,b和e(3)a,c,d 本课结束