湘教版必修第二册课件4.6 向量的应用

1．能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题．2．掌握两种基本方法——选择基向量法和坐标建系法．3．能用向量知识处理一些简单的物理问题．4.6向量的应用 向量方法在几何中的应用(1)证明平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔_________⇔________________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔______⇔____________．(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos〈a，b〉＝自学导引1．a＝λbx1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0＝．(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的数量积运算、向量模的公式：|a|＝． 向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是____．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_______运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mv是________．(4)功即是力F与所产生位移s的_______．2．向量加、减数乘向量数量积 已知直角三角形的两直角边长分别为10和12，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．提示　法一如图，设直角三角形ABC的∠C＝90°，D、E分别是BC、AC边的中点，BC＝10，AC＝12.则自主探究 法二如图，以C为原点，CA、CB为坐标轴建立平面直角坐标系．则由题意可知，C(0，0)，A(0，12)，B(10，0)，D(5，0)，E(0，6)． 预习测评1.答案C 在菱形ABCD中，下列式子成立的是()．2．答案C 已知作用在点A(1，1)的三个力，F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为()．A．(9，1)B．(1，9)C．(9，0)D．(0，9)解析F＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，其终点坐标为(1，1)＋(8，0)＝(9，1)．答案A3． 作用于一个物体的两个力F1、F2的大小都是10，F1与F2的夹角为60°，则F1＋F2的大小为________．4． 向量的线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景，通过向量及其运算，使几何与代数建立了有机的联系，平面几何中的长度、夹角、平行、垂直、相似等问题，都可以化归为向量的相关运算来研究，因此，平面几何中的一些问题可以利用向量方法来解决．向量在平面几何中的具体应用向量方法可应用于证明有关直线平行、垂直、线段相等及点共线等问题，其主要应用有：名师点睛1．2． 如图，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.题型一向量在平面几何中的应用【例1】典例剖析 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连DP、EF.求证：DP⊥EF.1. 如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求题型二向量在物理中的应用【例2】(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围． 点评合力与分力、合速度与分速度的大小关系，与合力和分力、合速度和分速度的夹角大小有关，具体关系一般通过解三角形获得．利用函数、不等式等知识，就可求得其数量变化，据此，可回答相应的物理问题． 在风速为75()km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解设ω＝风速，νa＝有风时飞机的航行速度，νb＝无风时飞机的航行速度，νb＝νa－ω.如图所示．∴νb、νa、ω构成三角形．2． 误区警示类比不当而出错【示例】错解一因为a·b＝b·c＝c·a，所以|a·b|＝|b·c|＝|c·a|，即|a||b|＝|b||c|＝|c||a|.由|a||b|＝|b||c|得，|a|＝|c|，由|b||c|＝|c||a|得，|b|＝|a|.所以|a|＝|b|＝|c|.故△ABC是等边三角形．错解二因为a·b＝b·c＝c·a，所以a·b＝b·c，即(a－c)·b＝0，而b≠0，所以a－c＝0，得到a＝c.同理由b·c＝c·a得到a＝b.所以a＝b＝c，故三角形ABC是等边三角形．错解三因为a·b＝b·c＝c·a，所以a·b＝b·c，而b≠0，所以a＝c.同理可得a＝b.所以a＝b＝c，故三角形ABC是等边三角形． 错因分析以上三种解法都犯了推理不严谨的错误．解法一错在“因为a·b＝b·c＝c·a，所以|a·b|＝|b·c|＝|c·a|”，其实，由a·b＝b·c＝c·a不能得到|a·b|＝|b·c|＝|c·a|，因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，只有在a，b同向共线时，才有a·b＝|a||b|成立；解法二错在“即(a－c)·b＝0，而b≠0，所以a－c＝0，得到a＝c”，由(a－c)·b＝0只能得出(a－c)⊥b，而不能得到a＝c；解法三错在“所以a·b＝b·c，而b≠0，所以a＝c”．向量具有方向，不能像数量那样，在进行计算时可以约分． 正解因为a·b＝b·c，所以(a－c)·b＝0，而由向量加法的三角形法则可知，a＋b＋c＝0，所以b＝－a－c，所以(a－c)·(－a－c)＝0，即(a－c)·(a＋c)＝0，得到a2－c2＝0，a2＝c2，即|a|2＝|c|2，也就是|a|＝|c|.同理可得，|a|＝|b|，所以|a|＝|b|＝|c|.故三角形ABC是等边三角形．纠错心得向量是一个具有方向的量，因此，在进行向量计算时，不能简单地照搬代数的运算方法，而应该严格按照向量的定义、性质、运算法则进行运算． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系．(3)把运算结果“翻译”成几何关系．“三步曲”给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，在解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键，对具体问题是选用向量几何法还是用向量的坐标法是难点，利用向量的坐标法有时会给解决问题带来方便，在用向量法证明时，一定要把向量结论还原为几何问题．课堂总结1． 平面几何中的向量应用到物理学中就是矢量，既有大小又有方向，是平面向量的一种具体体现，但是数学中的向量不是物理中的矢量，它来源于物理，而又不完全等同于物理中的矢量，它即具有自己的更广泛的意义，又包括一切可以有大小和方向的量．因此我们完全可以利用其解决物理学中的问题，另外又要注意物理学中不同的矢量的具体的物理实际意义．2．