1向量的实际背景与概念向量的几何表示相等向量与共线向量课时检测（附解析新人教A版必修第二册）

向量的实际背景与概念　向量的几何表示相等向量与共线向量[A级　基础巩固]1．下列说法中正确的个数是(　　)①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：选B　身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；∠AOB的两条边只有方向，没有大小，故②不是向量；④是向量．故选B.2．下列说法正确的是(　　)A．零向量没有方向B．向量就是有向线段C．只有零向量的模等于0D．单位向量都相等解析：选C　零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模等于0，故C选项正确；单位向量的模相等，对于任意两个单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选C.3．(多选)下列能使a∥b成立的是(　　)A．a＝bB．|a|＝|b|C．a与b方向相反D．|a|＝0或|b|＝0解析：选ACD　对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)A.与B.与C.与6 D.与解析：选D　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即＝.5．已知集合A＝{b|b是与a共线的向量}，B＝{b|b是与a长度相等的向量}，C＝{b|b是与a长度相等且方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题为假命题的是(　　)A．C⊆AB．A∩B＝{a}C．C⊆BD．A∩B⊇{a}解析：选B　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以选B.6．下列叙述：(1)单位向量都相等；(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；(4)方向不同的两个向量一定不平行．其中正确的有________．(填所有正确的序号)解析：(1)错误．单位向量的模都相等，但是方向不一定相同．(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．(3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同．(4)错误．方向相反的两个向量一定平行．答案：(2)7．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有__________个元素．解析：根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．答案：128.如图是3×4的格点图(每个小方格都是边长为1的正方形)，若向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个．6 解析：由题意，知与平行且模为的向量共有24个．答案：249．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示与向量长度相等的向量；(2)写出图中所示与向量相等的向量；(3)分别写出图中所示与向量，共线的向量．解：(1)与长度相等的向量是，，，，，，，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.10．在如图所示的坐标纸上(每个小方格都是边长为1的正方形)画出下列向量：(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向；(2)，使||＝4，点B在点A正东方向．解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量，如图所示．(2)由于点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A6 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量，如图所示．[B级　综合运用]11．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是(　　)A．一个点B．一条直线C．一个圆D．不能确定解析：选C　由于||＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆．故选C.12.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(　　)A．与相等的向量只有一个(不含)B．与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰好为的模的倍D.与不共线解析：选ABC　与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选A、B、C.13.如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中画出了若干个向量，6 则(1)与向量相等的向量有________；(2)与向量共线，且模相等的向量有________；(3)与向量共线，且模相等的向量有________．解析：(1)与向量相等的向量有，；(2)与向量共线，且模相等的向量有，，，，；(3)与向量共线，且模相等的向量有，，，，.答案：(1)，　(2)，，，，(3)，，，，14．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)作出，，，；(2)求B地相对于A地的位置．解：(1)向量，，，，如图所示．(2)由题意知＝，∴||＝||且AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴＝，则B地相对于A地的位置为北偏东60°方向，距离为6千米．[C级　拓展探究]15．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1m……按此方向继续操作下去．(1)作图说明当α＝45°时，最少转向几次可使赛车的位移为零；(2)按此方法操作，试写出三种赛车能回到出发点的情况．6 解：记出发点为A.(1)当α＝45°时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，赛车所行路程是8m，最少转向7次可使赛车的位移为零．(2)(答案不唯一)当α＝120°时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行路程为3m，最少转向2次可使赛车回到出发点；当α＝90°时，如图③，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为4m，最少转向3次可使赛车回到出发点；当α＝60°时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6m，最少转向5次可使赛车回到出发点．6