7平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示课时检测（附解析新人教A版必修第二册）

平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示[A级　基础巩固]1．(多选)下面几种说法中正确的有(　　)A．相等向量的坐标相同B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C．一个坐标对应唯一的一个向量D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应解析：选ABD　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A、B、D正确．2．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，且A(1，3)，B(2，4)，则x的值为(　　)A．1　　　　　　　　B．1或4C．0D．－4解析：选A　由已知得，＝(2－1，4－3)＝(1，1)，∵a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，∴解得x＝1.故选A.3．若＝(1，1)，＝(0，1)，＋＝(a，b)，则a＋b＝(　　)A．－1B．0C．1D．2解析：选A　＋＝＝－＝(0，1)－(1，1)＝(－1，0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　)A．(4，5)B．(5，－4)C．(3，2)D．(1，3)解析：选A　设D点坐标为(x，y)，则＝(4，3)，＝(x，y－2)，由＝，得∴∴D(4，5)．5．已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线为，，则－＝(　　)A．(1，10)B．(5，4)5 C．(－4，6)D．(－5，2)解析：选C　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，10)，＝－＝(5，4)，∴－＝(1，10)－(5，4)＝(－4，6)．6．在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(　　)A．(2，2)B．(－2，－2)C．(1，1)D．(－1，－1)解析：选D　因为A(2，2)，B(1，1)，所以＝(－1，－1)．故选D.7．已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且＝，则点C的坐标为________．解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(2，1)．由＝，则x＝0，y＝4.∴点C的坐标为(0，4)．答案：(0，4)8．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则＋＝________．解析：法一：由题意得＝(2，3)，＝(－3，3)，所以＋＝(2，3)＋(－3，3)＝(－1，6)．法二：＋＝＝(－1，6)．答案：(－1，6)9.如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．解：由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，∴B.5 x2＝cos120°＝－，y2＝sin120°＝，∴D.∴＝，＝.10．已知a＝，B点坐标为(1，0)，b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，且a＝b－c，求点A的坐标．解：∵b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，∴b－c＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a＝(－7，10)＝.又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，∴⇒即A点坐标为(8，－10)．[B级　综合运用]11．如果将＝，绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　)A.B.C．(－1，)D.解析：选D　设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)，则x＝||cos(120°＋30°)＝－，y＝||·sin(120°＋30°)＝，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D.12．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论，正确的结论有(　　)A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点不一定是原点D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)5 解析：选AC　由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C正确；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．13．已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为________．解析：设P点坐标为(x，y)，||＝||.当P在线段AB上时，＝.∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，∴解得∴P点坐标为(1，－1)．当P在线段AB延长线上时，＝－.∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x，2－y)，∴此时无解．综上所述，点P的坐标为(1，－1)．答案：(1，－1)14．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．(1)若＝＋，求点P的坐标；(2)若＋＋＝0，求的坐标．解：(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)，所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3)．(2)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，所以解得所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)．[C级　拓展探究]5 15．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解：设D点的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2)．当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6)．当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6，0)，故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．5