苏教版必修第二册课件9.2.2 向量的数乘

第9章9.2.2向量的数乘 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.理解向量数乘的定义及几何意义.2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.3.掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线. 基础落实•必备知识全过关 知识点1向量的数乘运算(1)定义:实数λ与向量a的运算,叫作向量的数乘,记作.它的长度和方向规定如下:①|λa|=|λ||a|.②若a≠0,则当λ>0时,λa与a方向;该条件必不可少当λ<0时,λa与a方向.特别地,当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0.相乘λa相同相反 (2)λa的几何意义:当λ>0时,把向量a沿着a的方向放大或缩小;当λ<0时,把向量a沿着a的方向放大或缩小.(3)运算律:设a,b为向量,λ,μ为实数,则有:①λ(μa)=;②(λ+μ)a=;③λ(a+b)=.(4)向量的加法、减法和数乘统称为向量的运算,向量的线性运算结果仍是向量.相同相反(λμ)aλa+μaλa+λb线性 名师点睛1.λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来的|λ|倍或|λ|.2.要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2+a,1-0无意义. 过关自诊A.a+bB.a-bC.2a+3bD.2a-3b答案C 知识点2向量共线定理条件必不可少1.设a为非零向量,如果有一个实数λ,使b=λa,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.2.三点共线问题通常转化为向量共线问题.名师点睛该定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,则实数λ存在,但λ并不唯一,此时定理不成立.(2)若b≠0,a=0,则不存在实数λ,使b=λa,此时定理也不成立. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa.()(2)若b=λa,则a与b共线(其中λ为实数).()(3)若λa=0,则a=0(其中λ为实数).()×√× A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案B 重难探究•能力素养全提升 探究点一向量的线性运算【例1】(1)化简下列各向量表达式: 规律方法向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 变式训练1化简下列各式:(2)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数).(2)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb=ma-nb. 探究点二向量共线的判定及应用角度1判定向量共线或三点共线【例2】(1)已知非零向量e1,e2不共线. 规律方法1.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线.2.利用向量共线定理证明三点共线,一般先任取两点构造向量,从而将问题转化为证明两向量共线.需注意的是,在证明三点共线时,不但要利用b=λa(a≠0),还要说明向量a,b有公共点.3.若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使且x+y=1. 变式训练2答案A,B,D 角度2利用向量共线求参数值【例3】已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.解∵ke1+e2与e1+ke2共线,∴存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),则(k-λ)e1=(λk-1)e2.∴k=±1. 规律方法利用向量共线定理,即b与a(a≠0)共线⇔b=λa(λ∈R),既可以证明点共线或向量共线问题,也可以根据共线求参数的值. 变式训练3设两个不共线的向量e1,e2,若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,问是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?解d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.因为e1与e2不共线,故存在实数λ和μ,使得d与c共线,此时λ=-2μ. 探究点三用已知向量表示未知向量 规律方法用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 素养培优解决三角形的四心问题答案B 规律方法1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的交点.内心到三角形三边的距离相等.2.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点.外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足 学以致用•随堂检测全达标 1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是()A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|答案C解析因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同. 答案D 答案B 4.化简4(a-3b)-6(-2b-a)=.答案10a解析4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a. 本课结束