苏教版必修第二册课件9.2.3 向量的数量积

第9章9.2.3向量的数量积 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.掌握数量积公式及投影向量的意义.3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律.4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点1向量的数量积及其几何意义(1)定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量叫作向量a和b的数量积,记作,即a·b=.我们规定:零向量与任一向量的数量积为0.(2)若两个非零向量a和b的夹角为θ,则cosθ=.|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ (3)投影向量(1)(2)②向量a在向量b上的投影向量为.注意顺序问题③向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.投影投影向量 过关自诊1.两个向量的数量积结果是向量还是数量?提示是数量. 2.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b=()答案B 3.已知向量|a|=10,|b|=12,且a·b=-60,则向量a与b的夹角为()A.60°B.120°C.135°D.150°答案B解析设a与b的夹角为θ,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°. 4.若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为. 知识点2向量数量积的性质设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=.(2)a⊥b⇔.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=或|a|=.(4)|a·b||a||b|.|a|cosθa·b=0|a|2≤ 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a·b=0(a,b是两个非零向量),则向量a,b的夹角为直角.()(2)若a·b>0,则向量a,b的夹角θ为锐角.()2.已知|a|=7,则a·a=.√×答案49解析a·a=|a|2=72=49. 知识点3平面向量数量积的运算律交换律数乘的结合律分配律多项式乘法向量数量积(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=(a-b)2=a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2a·b+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)·(a-b)=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·aa·b=b·a(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b(a+b)·c=a·c+b·ca2+2a·b+b2a2-b2 名师点睛1.向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·cb=c.2.向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c),这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√× 2.向量a,b满足|a|=|b|=4,它们的夹角为,则|a-b|=()A.4B.8C.37D.13答案A 答案A 重难探究•能力素养全提升 探究点一向量的数量积【例1】已知正三角形ABC的边长为1,求: 规律方法在求向量的数量积时,若已知向量的模,则直接利用公式a·b=|a||b|cosθ进行求解.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件. 答案0-16-16 探究点二投影向量【例2】如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求: 规律方法投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”. 变式训练2(1)已知向量a,b满足|b|=2,|a|=1,a与b的夹角为60°,则b在a上的投影向量是.(2)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°.①求a·b;②求a在b上的投影向量. 探究点三向量的夹角【例3】(1)已知在△ABC中,AB=AC=4=8,则△ABC的形状是.(2)|a|=3,|b|=4,a·b=-12,则向量a和b的夹角为. 答案(1)等边三角形(2)180° 规律方法求非零向量的夹角,主要是利用公式求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解. 答案60° 探究点四向量数量积的运算性质【例4】(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,则下列结论中正确的是()A.a·c-b·c=(a-b)cB.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2答案ACD解析根据向量的数量积的分配律知A正确;因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=0,所以(b·c)a-(c·a)b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;根据平面向量的数量积的运算性质可知D正确.故选ACD. 规律方法向量的数量积a·b与实数a,b的乘积a·b有联系,同时有许多不同之处.例如,由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 变式训练4(多选题)对于任意向量a,b,c,下列说法不正确的是()A.|a·b|=|a||b|B.|a+b|=|a|+|b|C.(a·b)c=a(b·c) 答案ABC解析因为a·b=|a||b|cosθ,所以|a·b|≤|a||b|,所以A错误;根据向量加法的平行四边形法则,|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b同向时,等号成立,所以B错误;因为(a·b)c是表示与向量c共线的向量,a(b·c)是表示与向量a共线的向量,所以C错误; 探究点五平面向量数量积的综合问题角度1向量的夹角与垂直问题(2)已知|a|=2,|b|=1,向量a,b的夹角为60°,c=a+5b,d=ma-2b,则实数m为何值时,c与d垂直? (2)解由已知得a·b=2×1×cos60°=1.若c⊥d,则c·d=0.∴c·d=(a+5b)·(ma-2b)=ma2+(5m-2)a·b-10b2=4m+5m-2-10=9m-12=0, 规律方法求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值. 答案B 角度2向量的模问题【例6】已知向量a,b满足|b|=2|a|=1,a⊥(a-b),则|2a+b|=()答案B 规律方法求解向量模时,首先要求向量自身的平方即模的平方,然后进行开方运算. 答案D解析∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=0,即|a|2-a·b=0,∴a·b=a2=2.故选D. 素养培优利用向量的数量积判断几何图形的形状A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.以上都不对答案(1)B(2)A 规律方法能够将,并熟练地运用向量的减法,是本题获解的关键.依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是常用手段,可以出现向量的数量积及模等信息. 学以致用•随堂检测全达标 答案B 答案C解析a在b上的投影向量的模为|a|cos30°=4×cos30°=2,故选C. 答案B 4.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,那么向量a-4b的模为()A.2B.2C.6D.12答案B解析∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=22-8×2×1×cos60°+16×12=12,∴|a-4b|=2. 5.已知|a|=3,|b|=2,且a,b的夹角为60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),那么实数m的值为.解析由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0,即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0,即3m×32+(5m-3)×3×2cos60°-5×22=0, 本课结束