苏教版必修第二册课后习题9.3.1 平面向量基本定理

9.3　向量基本定理及坐标表示9.3.1　平面向量基本定理1.如图所示,在矩形ABCD中,BC=5e1,DC=3e2,则OC等于(　　)A.12(5e1+3e2)　　　　B.12(5e1-3e2)C.12(3e2-5e1)D.12(5e2-3e1)答案A解析OC=12AC=12(BC-BA)=12(BC+DC)=12(5e1+3e2).2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列说法正确的是(　　)A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.对空间任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈RC.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对答案A解析B错,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任意向量;C错,在平面α内任意向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对.3.在△ABC中,AD=14AB,DE∥BC,且与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,设AB=a,AC=b,则用a,b表示DN等于(　　) A.14(a-b)B.14(b-a)C.18(a-b)D.18(b-a)答案D解析由题意得DN=12DE=12(AE-AD)=18(AC-AB)=18(b-a).4.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为　　　　　. 答案(-∞,4)∪(4,+∞)解析若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb(k∈R),得1≠2k,2≠kλ,解得λ≠4.5.已知向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可以表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则实数λ=　　　　　,μ=　　　　　. 答案52　-12解析由条件可知λ+μ=2,λ-μ=3,解得λ=52,μ=-12.6.已知在△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点.若AB=a,AC=b,用a,b表示AD,AE,AF.解AD=AB+BD=AB+12BC=a+12(b-a)=12a+12b;AE=AB+BE=AB+13BC=a+13(b-a)=23a+13b; AF=AB+BF=AB+23BC=a+23(b-a)=13a+23b.7.设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底表示向量c=3e1-e2.(1)证明假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得λ=1,3λ=-2,方程无解,所以λ不存在.故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以m+n=3,-2m+3n=-1,解得m=2,n=1.所以c=2a+b.8.如图,在△ABC中,AD=13AC,BP=23BD,若AP=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λμ等于(　　)A.32B.23C.3D.13答案A解析由题意可得,BD=AD-AB=13AC-AB, AP=AB+BP=AB+23BD=AB+2313AC-AB=13AB+29AC.又AP=λAB+μAC,所以λ=13,μ=29,故λμ=32.9.若OP1=a,OP2=b,P1P=λPP2(λ≠-1),则OP等于(　　)A.a+λbB.λa+(1-λ)bC.λa+bD.11+λa+λ1+λb答案D解析∵P1P=λPP2,∴OP-OP1=λ(OP2-OP),∴(1+λ)OP=OP1+λOP2,∴OP=11+λOP1+λ1+λOP2=11+λa+λ1+λb.10.如图,AB是☉O的直径,C,D是半圆弧AB的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于(　　)A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b答案D解析连接CD,OD,图略, ∵C,D是半圆弧AB的两个三等分点,∴AC=BD,∴CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°.∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°,∴∠CAD=∠ADO=30°,∴AC∥DO,∴四边形ACDO为平行四边形.∴AD=AO+AC.∵AO=12AB=12a,AC=b,∴AD=12a+b.11.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　)A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<0答案B解析如图所示,利用平行四边形法则,将OP分解到OP1和OP2上,有OP=OA+OB.则OA=mOP1,OB=nOP2.很明显OA与OP1方向相同,则m>0; OB与OP2方向相反,则n<0.12.(多选)若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是(　　)A.e1-e2,e2-e1B.2e1-e2,e1-12e2C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1+3e2答案ABC解析选项A中,两个向量互为相反向量,即e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2,e2-e1为共线向量;选项B中,2e1-e2=2e1-12e2,也为共线向量;选项C中,6e1-4e2=-2(2e2-3e1),为共线向量;根据不共线的向量可以作为基底,知只有选项D中的两向量可作为基底.13.(多选已知菱形ABCD边长为1,∠BAD=60°,E是BC中点,F是DE中点,M是AB中点,延长AF交CD于点N(如图所示),设AB=a,AD=b,则下列结论正确的是(　　)A.AF=12a+34bB.ME∥AFC.AF·DB=-18D.AF=2FN答案AC解析由F是DE中点可得,AF=b+12DE=b+12-b+a+12b=12a+34b,故A正确;因为E是BC中点,M是AB中点,所以ME∥AC,又AC与AF相交于点A,所以ME∥AF错误,故B错误;因为DB=AB-AD=a-b,AF=12a+34b,所以AF·DB=12a+34b·(a-b)=-14+14a·b=-14+18=-18,故C正确;若AF=2FN,则AF=23AN,由A知AF=12a+34b,AN=a+λb(λ∈R),则12a+34b=23(a+λb),即12a+34b=23a+23λb,显然不成立,故D错误.故选AC. 14.已知在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,AP=yAD,AQ=xAB,其中x,y∈R,且均不为0.若PQ∥BE,则xy=　　　　　. 答案12解析PQ=AQ-AP=xAB-yAD,由PQ∥BE,可设PQ=λBE,λ∈R,即xAB-yAD=λ(CE-CB)=λ-12AB+AD=-λ2AB+λAD,所以x=-12λ,y=-λ,则xy=12.15.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　　. 答案6解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作▱OMCN,使得M在直线OA上,N在直线OB上,则存在λ,μ,使OM=λOA,ON=μOB,即OC=OM+ON=λOA+μOB.在Rt△OCM中,∵|OC|=23,∠COM=30°,∠OCM=90°,∴|OM|=4,∴OM=4OA.又|ON|=|MC|=2,∴ON=2OB,∴OC=4OA+2OB,即λ=4,μ=2, ∴λ+μ=6.16.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b表示AD,AE,AF,BE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解如图,延长AD到点G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a).(2)证明由(1)知,BE=23BF,∴BE,BF共线.又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.17.如图所示,在▱ABCD中,AB=a,AD=b,BM=23BC,AN=14AB,AM交DN于点O.(1)试用向量a,b来表示DN,AM;(2)求AO∶OM的值. 解(1)因为AN=14AB,所以AN=14AB=14a,所以DN=AN-AD=14a-b.因为BM=23BC,所以BM=23BC=23AD=23b,所以AM=AB+BM=a+23b.(2)因为A,O,M三点共线,所以AO∥AM,设AO=λAM,λ∈R,则DO=AO-AD=λAM-AD=λa+23b-b=λa+23λ-1b.因为D,O,N三点共线,所以DO∥DN,设DO=μDN,μ∈R.则λa+23λ-1b=μ14a-b=14μa-μb.由于向量a,b不共线,则λ=14μ,23λ-1=-μ,解得λ=314,μ=67.所以AO=314AM,所以AO∶OM=311. 18.在△ABC中,AM=34AB+14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y的值.解(1)在△ABC中,AM=34AB+14AC,4AM=3AB+AC,3(AM-AB)=AC-AM,即3BM=MC,即点M是线段BC靠近点B的四等分点.故△ABM与△ABC的面积之比为14.(2)因为AM=34AB+14AC,AM∥AP,AP=xAB+yAC(x,y∈R),所以x=3y.因为N为AB的中点,所以NP=AP-AN=xAB+yAC-12AB=x-12AB+yAC,CP=AP-AC=xAB+yAC-AC=xAB+(y-1)AC,因为NP∥CP,所以x-12(y-1)=xy,即2x+y=1.又x=3y,所以x=37,y=17,所以x+y=47.