专题2 平面向量基本定理及平面向量的应用（答案解析）

专题2平面向量基本定理及平面向量的应用【基础题】1．（2021·浙江高一期末）若向量，，且，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题可根据向量垂直的坐标表示得出结果.【详解】因为，，，所以，解得，故选：D.2．（2021·浙江高一期末）中，点M为AC上的点，且，若，则的值是（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．【详解】因为，所以，，若，则，，．故选：．3．（2021·浙江高一期末）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【解析】 由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解.【详解】中，因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.故选：B4．（2021·浙江高一期末）在中，若，则的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】取中点，连接，则，利用向量数量积的运算律变形，得，从而可判断三角形形状．【详解】取中点，连接，则，因为，所以，所以，所以，即，所以的是等腰三角形．故选：B．5．（2021·泰安市·山东宁阳县一中高一月考）如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是（） A．B．C．－D．【答案】C【解析】根据题中条件，得到，根据向量数量积运算，得到，即可求出最小值.【详解】因为点是线段的中点，所以向量，所以，又因为向量，方向相反，所以．故选：C．6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）已知非零向量与满足，且，则为（）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】由推出，由推出，则可得答案.【详解】 由，得，得，得，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以为等腰直角三角形.故选：C7．【多选题】（2021·浙江高一期末）设向量，则下列命题中正确的有（）A．的最小值为3B．的最小值为3C．若，则D．若，则【答案】BCD【解析】根据向量模、向量共线、向量垂直的坐标运算求解判断．【详解】由题意，时取等号，A错；，时取等号，B正确；若，则，，C正确；若，则，，D正确．故选：BCD．8．【多选题】（2021·浙江高一期末）设向量，则（）A．B．C．与向量方向相同的单位向量的坐标为D．向量在向量上的投影向量坐标为【答案】BCD【解析】选项A.先求出的坐标，由向量共线的坐标公式可判断；选项B.分解求出向量， 的模长，可判断；选项C.由与向量方向相同的单位向量为，计算可判断；选项D.向量在向量上的投影向量为，计算可判断.【详解】选项A.由，，由所以与不平行，故选项A不正确.选项B.,，则满足，故选项B正确.选项C.与向量方向相同的单位向量为，故选项C正确.选项D.向量在向量上的投影向量为所以选项D正确.故选：BCD9．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知向量，则（）A．B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为D．若，则【答案】BC【解析】A．先计算出，然后通过计算是否为进行判断；B．先计算出向量在向量上的投影，则对应投影向量可知；C．先计算出，根据求解出结果；D．根据向量共线对应的坐标关系进行判断.【详解】A．因为，所以，故错误； B．因为向量在向量上的投影为，又，所以向量在向量上的投影向量为，故正确；C．因为，所以，所以，故正确；D．因为，所以，所以不成立，故错误；故选：BC.10．（2021·浙江高一期末）已知向量，，则、的夹角为_________．【答案】【解析】设、的夹角为，利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合的取值范围可求得角的值.【详解】，，则，，则.故答案为：.【提升题】1．（2021·浙江高一期末）如图中，的平分线交的外接圆于点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】 连接BO、DO、BD，根据题意，可得四边形ABDO为菱形，即可求得各个边长可角度，又，根据数量积公式，即可求得答案.【详解】连接BO、DO、BD，如图所示：由题意得：，AD为的平分线，所以四边形ABDO为菱形，即，又，所以，所以，又，所以==.故选：D2．（2021·浙江高一期末）已知是平面内的三个单位向量，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据条件在直角坐标系中可取，然后可算出，然后利用三角函数的知识求解即可.【详解】因为是平面内的三个单位向量，且， 所以在直角坐标系中可取所以所以故选：D3．（2021·浙江高一期末）已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，2为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.【详解】∵，而，∴，又，即，∴，，如上图示，若，则，∴在以为圆心，2为半径的圆上，若，则， ∴问题转化为求在圆上哪一点时，使最小，又，∴当且仅当三点共线且时，最小为.故选：B.4．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知梯形ABCD中，，则下列结论正确的是（）A．B．C．若，则点M在线段BC的反向延长线上D．若，且，则的面积是面积的倍【答案】BCD【解析】根据向量的加减法运算及数乘运算可以判断A,B选项，根据共线向量可判断C选项，根据向量共线的表示形式可判断D选项.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由可得，即，即B是线段的中点，故C正确；对于D，由可得，令，又，∴点在直线上，且，∴到直线的距离是到直线距离的,∴的面积是面积的倍，故D正确. 故选：BCD5．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（）A．B．C．0D．【答案】AB【解析】设，然后分别将表示为的形式，再根据向量数量积的定义以及的取值范围求解出可取值.【详解】设，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故选：AB. 6．【多选题】（2021·浙江高一期末）设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】利用余弦定理与基本不等式可判断AB选项的正误；利用反证法结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由余弦定理可得，，故，A选项正确；对于B选项，，则，则，由余弦定理可得，，故，B选项正确；对于C选项，假设，则，则，所以，，与矛盾，假设不成立，故，故C选项正确； 对于D，取，，满足，且，则为锐角，故D选项错误.故选：ABC.7．（2021·江苏苏州市·苏州中学高一期中）已知和分别为的外心和重心，且，若，则面积的最大值为___________【答案】【解析】根据重心和外心满足的几何性质，将进行转化，找到点满足的等量关系，然后求三角形的面积的最值．【详解】因为，是三角形的外心和重心，设为的中点，．①，，将上式代入①式得，，所以，点在以的中点为圆心，半径为的圆上．故当时，面积的最大为．故答案为：．8．（2021·浙江高一期末）在中，A，B，C所对的边为a，b，c，若，则周长的取值范围是_________．【答案】【解析】先根据三角恒等变换的公式化简，然后求解出的值，再利用正弦定理分别将 用角的正弦形式表示出，最后将的周长用角的正弦型函数形式表示出，并结合正弦型函数的值域求解出周长的取值范围.【详解】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，设的周长为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.9．（2021·浙江高一期末）在中，分别为角的对边，且．（1）求角B；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的余弦公式计算可得；（2）利用余弦定理得到关于、的方程，解得即可；【详解】解：（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，所以，即，所以，所以；（2）由余弦定理可得，将及代入上式得，，整理得，即，所以或，因为，所以，所以，所以10．（2021·上海高一专题练习）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的值；（2）若，，求的周长；（3）若，求面积的最大值．【答案】（1）;（2）20;（3）.【解析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；【详解】（1）,,,,; （2），在中利用余弦定理得：，，的周长为：；（3），，，，，，，等号成立当且仅当，面积的最大值为.